Cực trị và bất đẳng thức

[shuieshushu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. Cho [TEX]x \geq 0, y\geq[/TEX] 0 và x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của:
[TEX]A = x^2 + y^2[/TEX]
Bài 2. Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
[TEX]16ab(a - b)^2 \leq (a + b)^4[/TEX]

 

[lp_qt]

Câu 1

•$x+y=1 \Longleftrightarrow x^2+y^2+2xy=1 \Longleftrightarrow x^2+y^2=1-2xy$

$x \ge 0; y \ge 0 \Longrightarrow xy \ge 0$

\Rightarrow $x^2+y^2=1-2xy \le 1$

khi $x=0;y=1$ hoặc $x=1;y=0$

• $x^2+y^2 \ge \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[transformers123]

Câu 1(cách khác)

$\bigstar \mathfrak{GTLN}$

Theo đề bài, ta có: $\begin{cases}0 \le x \le 1\\0 \le y \le 1\end{cases} \iff \begin{cases}x^2 \le x\\y^2 \le y\end{cases} \iff x^2+y^2 \le x+y=1$

Dấu "=" xảy ra khi $(x;y)=(0:1), (1;0)$

$\bigstar \mathfrak{GTNN}$

Ta có: $x+y=1 \iff x=1-y$

$x^2+y^2=(1-y)^2+y^2=2(y-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x=1-y\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases} \iff x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[thaolovely1412]

[TEX](a + b)^4 \geq 16ab(a - b)^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^4 + 4ab^3 + 6a^2b^2 + 4a^3b + b^4 \geq 16ab(a^2 - 2ab + b^2) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^2 + 4ab^3 + 6a^2b^2 + 4a^3b + b^4 \geq 16a^3b - 32a^2b^2 + 16ab^3 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^4 + 4ab^3 + 6a^2b^2 + 4a^3b + b^4 - 16a^3b + 32a^2b^2 - 16ab^3 \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^4 - 12a^3b + 38a^2b^2 - 12ab^3 + b^4 \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^4 + b^4 + 36a^2b^2 + 2a^2b^2 - 12a^3b - 12ab^3 \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a^2 - 6ab + b^2)^2 \geq 0[/TEX] (luôn đúng)