Cực trị+Tứ giác nt

[c1soi01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ cho tam giác đều ABC có đường cao AH trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M ko trùng với B;C;H) từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với cạnh AB; AC(P thuộc AB;Q thuộc AC)
a) c/m tứ giác APMQ nội tiếp
b) gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ chứng minh OH vuông góc PQ
c chứng minh rằng MP+MQ = Ah
2 cho a.b là 2 số thực thay đổi thỏa mãn a+b lớn hơn hoặc bằng 1 và a>0 tìm min
A = $\dfrac{8a²+b}{4a}$ +b²

 

[eye_smile]

2,$\dfrac{8{a^2}+b}{4a}+{b^2} \ge \dfrac{8{a^2}+1-a}{4a}+{b^2}=2a+\dfrac
{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+{b^2}=a+\dfrac{1}{4a}+a+{b^2}-\dfrac{1}{4} \ge 1+1-b+{b^2}-\dfrac{1}{4}={(b-\dfrac{1}{2})^2}+\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[olala1111]

bài hình

1/ cho tam giác đều ABC có đường cao AH trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M ko trùng với B;C;H) từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với cạnh AB; AC(P thuộc AB;Q thuộc AC)
a) c/m tứ giác APMQ nội tiếp
b) gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ chứng minh OH vuông góc PQ
c chứng minh rằng MP+MQ = Ah
2 cho a.b là 2 số thực thay đổi thỏa mãn a+b lớn hơn hoặc bằng 1 và a>0 tìm min
A = $\dfrac{8a²+b}{4a}$ +b²

bài hình kìa bạn đợi mình làm rồi up sau nhé chắc khoảng 3h chiều xong

 

[lamnguyen.rs]

a)
MP vuông góc AB ==> $\widehat{APM} = 90^0$ ==> P thuộc đường tròn đường kính AM.
MQ vuông góc AC ==> $\widehat{AQM} = 90^0$ ==> Q thuộc đường tròn đường kính AM.
Suy ra P, Q thuộc đường tròn đường kính AM hay APMQ là tứ giác nội tiếp.
b)
ABC là tam giác đều ==> AH vừa là đường cao vừa là phân giác ==> $\widehat{BAH} = \widehat{CAH} = 90^0 - 60^0 = 30^0$
$\widehat{PAH}$ là góc nội tiếp trong (O) ==> $\widehat{OPH} = 2\widehat{PAH} = 60^0$
$\widehat{QAH}$ là góc nội tiếp trong (O) ==> $\widehat{OQH} = 2\widehat{QAH} = 60^0$
2 tam giác cân OPH và OQH (cân ở O) có 1 góc bằng $60^0$ nên là 2 tam giác đều ==> PH = OH = QH ==> H thuộc trung trực PQ.
Mà OP = OQ (=R) ==> O thuộc trung trực PQ.
Suy ra OH là trung trực PQ ==> OH vuông góc PQ.
c)
TG MBP đồng dạng TG ABH (g.g) ==> $\dfrac{MP}{AH} = \dfrac{MB}{AB} = \dfrac{MB}{BC}$ (do AB = BC (tam giác ABC đều))
TG MCQ đồng dạng TG ACH (g.g) ==> $\dfrac{MQ}{AH} = \dfrac{MC}{AC} = \dfrac{MC}{BC}$ (do AC = BC (tam giác ABC đều))
Suy ra $\dfrac{MP}{AH} + \dfrac{MQ}{AH} = \dfrac{MB + MC}{BC} = \dfrac{BC}{BC} = 1$
Hay $MP + MQ = AH$

 

[c1soi01]

****************************???????????

2,$\dfrac{8{a^2}+b}{4a}+{b^2} \ge \dfrac{8{a^2}+1-a}{4a}+{b^2}=2a+\dfrac
{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+{b^2}=a+\dfrac{1}{4a}+a+{b^2}-\dfrac{1}{4} \ge 1+1-b+{b^2}-\dfrac{1}{4}={(b-\dfrac{1}{2})^2}+\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

bạn tách 2 số thế nào vậy ? sử dụng bất đẳng thức nào ?

 

[duchieu300699]

bạn tách 2 số thế nào vậy ? sử dụng bất đẳng thức nào ?

Có $a+b$ \geq 1 $\rightarrow$ $a$ \geq $1-b$

Tiếp đó dùng Cô-si cho a vì $a>0$ và nhóm b thành $(--)^2$

 

[eye_smile]

2c, Cách khác:
Xét tam giác MQC vuông tại Q, góc C=60 độ
\Rightarrow $MQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.MC$

Xét tam giác MBP , TT có: $MP=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.MB$

\Rightarrow $MP+MQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.(MC+MB)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.BC$

Lại có: $AH=\sqrt{{AC^2}-{HC^2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.BC$

\Rightarrow đpcm