- 27 Tháng ba 2016
- 57
- 36
- 26
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TP.HCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Số phức là chủ đề xuất hiện khá xuyên suốt trong đề thi học kì và đặc biệt là đề thi THPTQG, nhiều ý tưởng để xây dựng một bài toán về số phức xuất hiện khá mới mẽ bên cạnh đó bài toán về cực trị không phải quá xa lạ. Ngoài cách giải một cách chính xác bằng hình học, sử dụng các bất đẳng thức AM-GM, Cauchy-Schwartz, Minkowski,…Đối với đề thi trắc nghiệm để xử lý gần đúng đáp án đưa ra kết quả của dạng bài toán này mình xin giới thiệu với các bạn việc kết hợp của casio và một số thuật toán nhỏ.
Dạng 1: Đường tròn
Dạng: Cho số phức z thỏa mãn [tex]\left| {z - {z_1}} \right| = r[/tex]. Tìm Max, Min của biểu thức P(z)
Phương pháp:
B1: Đặt: [tex]z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) + {z_1}[/tex] thay vào P(z)
B2: Sử dụng casio Mode 7 Table
start=0
end=2[tex]\pi[/tex]
step=[tex]\frac{2\pi}{19}[/tex]
B3: Dò Min, Max trên màn hình
Ví dụ minh họa:
VD1: Cho số phức z thỏa mãn[tex]\left| {z - 3 + 2i} \right| = 2[/tex] . Giá trị nhỏ nhất của [tex]\left| {z + 1 - i} \right|[/tex] là? ĐA: 3
Gợi ý cách giải.
\[z = 2(\cos \alpha + i\sin \alpha ) + 3 - 2i\]
+Nhập Mode 7
\[\begin{array}{l}
f(x) = \sqrt {{{(2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 3 + 1)}^2} + {{(2{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 2 - 1)}^2}} \\
Star?0\\
End?2\pi \\
Step?\frac{{2\pi }}{{19}}
\end{array}\]
VD2: Trong các số phức z thỏa mãn [tex]\left| {z - 5i} \right| \le 3[/tex] , số phức có [tex]\left| z \right|[/tex] nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu? ĐA: 2
Gợi ý cách giải.
\[z = 3(\cos \alpha + i\sin \alpha ) + 5i\]
+Nhập Mode 7
\[\begin{array}{l}
f(x) = \sqrt {{{(3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2} + {{(3{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + 5)}^2}} \\
Star?0\\
End?2\pi \\
Step?\frac{{2\pi }}{{19}}
\end{array}\]
[tex]\Rightarrow \alpha \approx 4,62971549 \Rightarrow 3\sin \alpha + 5 \approx 2[/tex]
Dạng 2: Elip và đường thẳng
Dạng: Cho số phức z thỏa [tex]\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = p[/tex]. Tìm Min, Max của P(z)
Phương pháp:
B1: Tính [tex]c = \frac{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}}{2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2},\left( {a = \frac{p}{2}} \right)[/tex].
B2: *Nếu [tex]{b^2} > 0[/tex] đặt [tex]z = a\cos \theta + bi\sin \theta + \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}[/tex] thế vào P(z). TH là elip
*Nếu [tex]{b^2} = 0[/tex] . Gọi [tex]A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})[/tex] là điểm biểu diễn [tex]{z_1},{z_2}[/tex]. Viết phương trình đoạn thẳng AB có dạng y=kx+q. Gọi [tex]z = x + yi[/tex] thay vào P(z) tính toán sau đó thay [tex]y = kx + q[/tex] . Chuyển sang B4. TH là đường thẳng.
B3: Như dạng 1.
B4: Như B3 nhưng Start=x1, end=x2 và step=[tex]\frac{{{x_2} - {x_1}}}{{24}}[/tex]
Ví dụ minh họa:
VD1: {Elip}
Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn [tex]\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 4\sqrt 2[/tex]. Tính giá trị nhỏ nhất của [tex]\left| z \right|[/tex]? ĐA: 2
Gợi ý cách giải.
[tex]\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\sqrt 2 \\ c = 2\\ = > b = 2 \end{array} \right.\\ z = 2\sqrt 2 \cos \alpha + 2i\sin \alpha \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l} f(x) = \sqrt {{{(2\sqrt 2 cosx)}^2} + {{(2sinx)}^2}} \\ Star?0\\ End?2\pi \\ Step?\frac{{2\pi }}{{19}} \end{array}[/tex]
VD2: {Đường thẳng}
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện [tex]\left| {z - 1 - i} \right| + \left| {z - 3 - 2i} \right| = \sqrt 5[/tex]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun z , tính M+m? ĐA: [tex]\sqrt 2 + \sqrt {13}[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ c = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ = > b = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} A(1;1)\\ B(3;2) \end{array} \right. = > (AB):y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2},x \in \left[ {1;3} \right]\\ f(x) = \sqrt {{{(x)}^2} + {{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})}^2}} \\ Star?1\\ End?3\\ Step?\frac{2}{{19}}\\ = > M \approx 3,605551275\\ = > m \approx 1,414213562\\ = > M + m \approx \sqrt 2 + \sqrt {13} \end{array}[/tex]
Bài tập tham khảo: Các bạn có thể tham khảo phương pháp giải và áp dụng vào giải các bài toán. Bài tập các bạn có thể tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau vì lượng bài tập trên Internet khá lớn mình xin đưa ra một số tài liệu mình xem là hay và bổ ích cho các bạn.
Có rất nhiều công thức tổng quát để giải các trường hợp cụ thể của cực trị số phức tuy nhiên việc áp dụng rất hạn chế và cộng thêm việc công thức rất dài dòng, phức tạp gây khó nhớ. Vì vậy các bạn cần nắm vững lí thuyết và cách giải tổng quát để có phương pháp xử lý hiệu quả nhất. Bên cạnh đó nếu các bạn tìm ra cách giải tổng quát bằng máy tính bỏ túi cũng sẽ giúp các bạn rút ngắn rất nhiều thời gian giải bài toán dưới áp lực bài thi trắc nghiệm như hiện nay. Tuy nhiên, mình vẫn không khuyến khích các bạn quá lạm dụng nó!
P/s: Tuy nhiên, mình không khuyến khích các bạn sử dụng cách giải này vì trong một số bài toán vẫn ra kết quả sai vì thế các bạn vẫn nên nắm vững và chắc kiến thức. Nội dung bài viết mình tham khảo nhiều nguồn tài liệu khác nhau đặc biệt là tài liệu của thầy Đinh Phúc. Xin chân thành cảm ơn thầy!
Dạng 1: Đường tròn
Dạng: Cho số phức z thỏa mãn [tex]\left| {z - {z_1}} \right| = r[/tex]. Tìm Max, Min của biểu thức P(z)
Phương pháp:
B1: Đặt: [tex]z = r\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) + {z_1}[/tex] thay vào P(z)
B2: Sử dụng casio Mode 7 Table
start=0
end=2[tex]\pi[/tex]
step=[tex]\frac{2\pi}{19}[/tex]
B3: Dò Min, Max trên màn hình
Ví dụ minh họa:
VD1: Cho số phức z thỏa mãn[tex]\left| {z - 3 + 2i} \right| = 2[/tex] . Giá trị nhỏ nhất của [tex]\left| {z + 1 - i} \right|[/tex] là? ĐA: 3
Gợi ý cách giải.
\[z = 2(\cos \alpha + i\sin \alpha ) + 3 - 2i\]
+Nhập Mode 7
\[\begin{array}{l}
f(x) = \sqrt {{{(2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 3 + 1)}^2} + {{(2{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 2 - 1)}^2}} \\
Star?0\\
End?2\pi \\
Step?\frac{{2\pi }}{{19}}
\end{array}\]
VD2: Trong các số phức z thỏa mãn [tex]\left| {z - 5i} \right| \le 3[/tex] , số phức có [tex]\left| z \right|[/tex] nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu? ĐA: 2
Gợi ý cách giải.
\[z = 3(\cos \alpha + i\sin \alpha ) + 5i\]
+Nhập Mode 7
\[\begin{array}{l}
f(x) = \sqrt {{{(3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} )}^2} + {{(3{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + 5)}^2}} \\
Star?0\\
End?2\pi \\
Step?\frac{{2\pi }}{{19}}
\end{array}\]
[tex]\Rightarrow \alpha \approx 4,62971549 \Rightarrow 3\sin \alpha + 5 \approx 2[/tex]
Dạng 2: Elip và đường thẳng
Dạng: Cho số phức z thỏa [tex]\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = p[/tex]. Tìm Min, Max của P(z)
Phương pháp:
B1: Tính [tex]c = \frac{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}}{2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2},\left( {a = \frac{p}{2}} \right)[/tex].
B2: *Nếu [tex]{b^2} > 0[/tex] đặt [tex]z = a\cos \theta + bi\sin \theta + \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}[/tex] thế vào P(z). TH là elip
*Nếu [tex]{b^2} = 0[/tex] . Gọi [tex]A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})[/tex] là điểm biểu diễn [tex]{z_1},{z_2}[/tex]. Viết phương trình đoạn thẳng AB có dạng y=kx+q. Gọi [tex]z = x + yi[/tex] thay vào P(z) tính toán sau đó thay [tex]y = kx + q[/tex] . Chuyển sang B4. TH là đường thẳng.
B3: Như dạng 1.
B4: Như B3 nhưng Start=x1, end=x2 và step=[tex]\frac{{{x_2} - {x_1}}}{{24}}[/tex]
Ví dụ minh họa:
VD1: {Elip}
Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn [tex]\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 4\sqrt 2[/tex]. Tính giá trị nhỏ nhất của [tex]\left| z \right|[/tex]? ĐA: 2
Gợi ý cách giải.
[tex]\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2\sqrt 2 \\ c = 2\\ = > b = 2 \end{array} \right.\\ z = 2\sqrt 2 \cos \alpha + 2i\sin \alpha \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l} f(x) = \sqrt {{{(2\sqrt 2 cosx)}^2} + {{(2sinx)}^2}} \\ Star?0\\ End?2\pi \\ Step?\frac{{2\pi }}{{19}} \end{array}[/tex]
VD2: {Đường thẳng}
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện [tex]\left| {z - 1 - i} \right| + \left| {z - 3 - 2i} \right| = \sqrt 5[/tex]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun z , tính M+m? ĐA: [tex]\sqrt 2 + \sqrt {13}[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ c = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\ = > b = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} A(1;1)\\ B(3;2) \end{array} \right. = > (AB):y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2},x \in \left[ {1;3} \right]\\ f(x) = \sqrt {{{(x)}^2} + {{(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})}^2}} \\ Star?1\\ End?3\\ Step?\frac{2}{{19}}\\ = > M \approx 3,605551275\\ = > m \approx 1,414213562\\ = > M + m \approx \sqrt 2 + \sqrt {13} \end{array}[/tex]
Bài tập tham khảo: Các bạn có thể tham khảo phương pháp giải và áp dụng vào giải các bài toán. Bài tập các bạn có thể tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau vì lượng bài tập trên Internet khá lớn mình xin đưa ra một số tài liệu mình xem là hay và bổ ích cho các bạn.
Có rất nhiều công thức tổng quát để giải các trường hợp cụ thể của cực trị số phức tuy nhiên việc áp dụng rất hạn chế và cộng thêm việc công thức rất dài dòng, phức tạp gây khó nhớ. Vì vậy các bạn cần nắm vững lí thuyết và cách giải tổng quát để có phương pháp xử lý hiệu quả nhất. Bên cạnh đó nếu các bạn tìm ra cách giải tổng quát bằng máy tính bỏ túi cũng sẽ giúp các bạn rút ngắn rất nhiều thời gian giải bài toán dưới áp lực bài thi trắc nghiệm như hiện nay. Tuy nhiên, mình vẫn không khuyến khích các bạn quá lạm dụng nó!
P/s: Tuy nhiên, mình không khuyến khích các bạn sử dụng cách giải này vì trong một số bài toán vẫn ra kết quả sai vì thế các bạn vẫn nên nắm vững và chắc kiến thức. Nội dung bài viết mình tham khảo nhiều nguồn tài liệu khác nhau đặc biệt là tài liệu của thầy Đinh Phúc. Xin chân thành cảm ơn thầy!
