cực trị (min max)

X

xuanquynh97

Do x,y>0 nên chia cả 2 vế cho $x^3y^3$ ta được:
$\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}−3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})+4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})−4=0$
Đặt:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=S$
$\frac{1}{xy}=P$ ta được:
$S(S^2−3P)+4S=3(S^2−2P)−4$
\Leftrightarrow $S^3−3S^2+4S−4=3P(S−2)$
\Leftrightarrow $(S−2)(S^2−S+2−3P)=0$
Ta có $\frac{1}{4}S^2+1$ \geq S và $\frac{3}{4}S^2+1$ \geq 3P nên $S^2−S+2−3P>0$
Do đó S=2
\Leftrightarrow $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
mà $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x+y}$ Theo Cauchy-Schwart
Do đó x+y≥2
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom