Cực trị khó

M

matthamthcs

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x, y, z là các số dương thay đổi sao cho xyz =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=6(x+1)2+y2+1+6(y+1)2+z2+1+6(z+1)2+x2+1\dfrac{6}{(x+1)^2+y^2+1}+\dfrac{6}{(y+1)^2+z^2+1} +\dfrac{6}{(z+1)^2+x^2+1}

2.Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà a2na^2 \le n
thì n chia hết cho a

3.Tìm giá trị nhỏ nhất (x1)4+(x3)4+6(x1)2(x3)2(x-1)^4 +(x-3)^4 +6(x-1)^2(x-3)^2
 
Last edited by a moderator:
T

transformers123

Bài 3:

A=(x1)4+(x3)4+6(x1)2(x3)2A=(x-1)^4 +(x-3)^4 +6(x-1)^2(x-3)^2

Đặt x2=ax-2=a, ta có:

A=(a+1)4+(a1)4+6[(a+1)(a1)]2A=(a+1)^4+(a-1)^4+6[(a+1)(a-1)]^2

    A2[(a+1)(a1)]2+6[(a1)(a+1)]2\iff A \ge 2[(a+1)(a-1)]^2+6[(a-1)(a+1)]^2 (AD Cauchy)

    A8[(a1)(a+1)]2\iff A \ge 8[(a-1)(a+1)]^2

    A8(a21)2\iff A \ge 8(a^2-1)^2

    A8(1)2=8\iff A \ge 8(-1)^2=8

Dấu "=" xảy ra khi {(a1)2=(a+1)2a=0    x=2\begin{cases}(a-1)^2=(a+1)^2\\a=0\end{cases} \iff x=2
 
Last edited by a moderator:
T

tienqm123

1, Ta có (x+1)2+y2+1=x2+y2+2x+2(x+1)^2+y^2+1 = x^2 + y^2 + 2x + 2 \geq 2(xy+x+1)$
\Rightarrow 6(x+1)2+y2+1\dfrac{6}{(x+1)^2+y^2+1} \leq 62(xy+x+1)\dfrac{6}{2(xy+x+1)}
Tương tự \Rightarrow A \leq 3 ( 1xy+x+1\dfrac{1}{xy+x+1} + 1yz+y+1\dfrac{1}{yz+y+1} + 1zx+z+1\dfrac{1}{zx+z+1} ) = 3 (thay xyz = 1 vào là được)
dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom