Cực trị khó

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho x, y, z là các số dương thay đổi sao cho xyz =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=$\dfrac{6}{(x+1)^2+y^2+1}+\dfrac{6}{(y+1)^2+z^2+1} +\dfrac{6}{(z+1)^2+x^2+1}$

2.Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà $a^2 \le n$
thì n chia hết cho a

3.Tìm giá trị nhỏ nhất $(x-1)^4 +(x-3)^4 +6(x-1)^2(x-3)^2$

 

[transformers123]

Bài 3:

$A=(x-1)^4 +(x-3)^4 +6(x-1)^2(x-3)^2$

Đặt $x-2=a$, ta có:

$A=(a+1)^4+(a-1)^4+6[(a+1)(a-1)]^2$

$\iff A \ge 2[(a+1)(a-1)]^2+6[(a-1)(a+1)]^2$ (AD Cauchy)

$\iff A \ge 8[(a-1)(a+1)]^2$

$\iff A \ge 8(a^2-1)^2$

$\iff A \ge 8(-1)^2=8$

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}(a-1)^2=(a+1)^2\\a=0\end{cases} \iff x=2$

 

[tienqm123]

1, Ta có $(x+1)^2+y^2+1 = x^2 + y^2 + 2x + 2$ \geq 2(xy+x+1)$
\Rightarrow $\dfrac{6}{(x+1)^2+y^2+1}$ \leq $\dfrac{6}{2(xy+x+1)}$
Tương tự \Rightarrow A \leq 3 ( $\dfrac{1}{xy+x+1}$ + $\dfrac{1}{yz+y+1}$ + $\dfrac{1}{zx+z+1}$ ) = 3 (thay xyz = 1 vào là được)
dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1