Cực trị khó

[chuhien0]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$.Tìm GTNN của A=$a^2+b^2+c^2$+$\frac{2010}{a+b+c}$

 

[huynhbachkhoa23]

$a^2+b^2+c^2+\dfrac{2010}{a+b+c}=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+\dfrac{2010}{a+b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $(a+b+c)^2+\dfrac{54}{a+b+c}\ge 27$
Ngoài ra áp dụng bất đẳng thức Chebyshev: $9(a^3+b^3+c^3)\ge 3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\ge (a+b+c)^3$ nên $a+b+c\le 3$ và có $ab+bc+ca\le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}\le 3$
Do đó $\dfrac{1956}{a+b+c}\ge 652$ và $-2(ab+bc+ca)\ge -6$
Suy ra $A\ge 673$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

[chuhien0]

$a^2+b^2+c^2+\dfrac{2010}{a+b+c}=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+\dfrac{2010}{a+b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $(a+b+c)^2+\dfrac{54}{a+b+c}\ge 27$
Ngoài ra áp dụng bất đẳng thức Chebyshev: $9(a^3+b^3+c^3)\ge 3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\ge (a+b+c)^3$ nên $a+b+c\le 3$ và có $ab+bc+ca\le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}\le 3$
Do đó $\dfrac{1956}{a+b+c}\ge 652$ và $-2(ab+bc+ca)\ge -6$
Suy ra $A\ge 673$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Thanks.............................................................................................................................................................................................................................

 

[huynhbachkhoa23]

$\dfrac{1956}{a+b+c}\ge 652$ ????sao lại thể hà bạn.......................................................................

Do $a+b+c\le 3$