Toán 9 Cực trị hình học

[Tungtom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c và các đường cao tương ứng là [tex]h_{a}, h_{b}, h_{c}[/tex].
Chứng minh rằng: [tex]h_{a}^2\leq \frac{1}{4}(a+b+c)(-a+b+c)[/tex].
Mong mọi người giúp đỡ ạ

 

[iceghost]

Nhân hai vế cho $4a^2$ thì ta cần chứng minh $$16S^2 \leqslant a^2(a+b+c)(-a+b+c)$$
Mà theo hệ thức Hê-rông thì $$16S^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$$
Vậy ta cần chứng minh $$(a+b-c)(a-b+c) \leqslant a^2$$
Hiển nhiên đúng vì $$VT = a^2 - (b-c)^2 \leqslant a^2 = VP$$
P/s: Hy vọng là bạn biết hệ thức Hê-rông

 

[Tungtom]

Nhân hai vế cho $4a^2$ thì ta cần chứng minh $$16S^2 \leqslant a^2(a+b+c)(-a+b+c)$$
Mà theo hệ thức Hê-rông thì $$16S^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$$
Vậy ta cần chứng minh $$(a+b-c)(a-b+c) \leqslant a^2$$
Hiển nhiên đúng vì $$VT = a^2 - (b-c)^2 \leqslant a^2 = VP$$
P/s: Hy vọng là bạn biết hệ thức Hê-rông

Dạ em không biết hệ thức Hê rông T^T. Thực ra cái này thì em cũng mới nghĩ ra cách làm ạ. Phần này cô giao chưa cần đụng đến hệ thức hê rông ạ.
À cách làm thế này mọi người xem xem sao ạ :

Qua A kẻ d song song với BC. Lấy I đối xứng với B qua d. Nối I với A, I với C.
Ta có: d là đường trung trực của IB mà A thuộc d.
=> AI=AB=c.
Vì d song song với BC và d vuông góc IB=> BC vuông góc IB.
Áp dụng định lí Pytago với tam giác IB.
BC^2+BI^2=IC^2(1).
Gọi D là trung điểm IB.
=> Tứ giác KAEB là hình chữ nhật.
=> KB=AE=ha=>IB=2ha.( em vội nên không viết được e ở dưới nha, mọi người thông cảm).
Thay vào (1): (2ha)^2+a^2=IC^2
Lại có: IC<= IA+AC=b+c.
=> (IC)^2<=(b+c)^2.
=> (2ha)^2+a^2<=(b+c)^2
=> ha^2<=1/4(a+b+c)(-a+b+c)(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi A nằm giữa I và C=> tam giác ABC cân tại A