THêm :v :
Cho tam giác ABC, H là trực tâm. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Cho M là điểm nằm trong tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA.BC + MC.AB + MB.AC
Cái hình nó khá nhì nhằng ngằng nhì nên em tự ve nhé
kẻ BD và CE cùng vuông góc với AM, ta có:
SMAB + SMAC = (BD + CE).AM/2 <= BC.AM/2 (1) ( đường vuông góc <= đường xiên)
dấu = xảy ra khi AM vuông góc với BC
tương tự:
SMBC + SMAB <= AC.BM/2 (2)
SMBC + SMAC <= AB.MC/2 (3)
(1)+(2)+(3) ta có:
2(SMAB +SMBC + SMAC) <= BC.AM/2 + AC.BM/2 + AB.MC/2
->MA.BC + MB.CA + MC.AB >= 4.SABC= 4.s ( mình gọi S là diện tích tam giác SMBC là diện tích tam giác MBC nha còn s là diện tích tam giác ABC)
vậy: min (MA.BC + MB.CA + MC.AB) = 4.S(ABC) =4s
xảy ra khi: AM vuông góc BC và BM vuông góc AC và CM vuông góc AB -> M là trực tâm tam giác ABC -> M trùng với H
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
