Toán 9 cực trị hình học

[dohoanghieu123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm
C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

 

[hdiemht]

Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm
C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

a) Ta có: [tex]\widehat{BNM}=\widehat{DBC};\widehat{MND}=\widehat{MDC}\Rightarrow \widehat{BND}=90^{\circ}[/tex]
[tex]\widehat{BND}+\widehat{DCB}=180^{\circ}[/tex] [tex]\Rightarrow CDNB[/tex] nội tiếp đtròn đường kính BD
Suy ra: A,D,C,B,N nội tiếp đtròn đường kính BD
Suy ra: NC là phân giác góc DNB mà theo cm trên NM cũng là phân giác góc DNB suy ra........
b) Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu của N lên AC,BD
Suy ra: NPOQ là hcn
Tam giác ANC vuông có NP vuông AC nên:
[tex]NA.NC=NP.AC; T^2: ND.NB=NQ.BD\Rightarrow NA.NC.ND.NB=AC^2.NP.NQ=2a^2.NP.NQ\leq 2a^2.\frac{NP^2+NQ^2}{2}=a^2.PQ^2=a^2.NO^2=a^2.\frac{BD^2}{4}=\frac{a^4}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]OP=OQ=\frac{a}{2}[/tex]
Suy ra NPOQ là hình vuông
[tex]\Rightarrow OQ=NQ=\frac{a}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow DQ=a\sqrt{2}+\frac{a}{2}=\frac{a(2\sqrt{2}+1)}{2}\Rightarrow ND=..[/tex] (Pitago)
Sau đó áp dụng tính chất phân giác: NM là tia pnân giác của góc DNB sau đó tìm được DM. Mà OM=DM-DO=.....