Toán Cực trị hình học

[bat dangthuc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông.
a) tìm điều kiện để MNPQ có chu vi nhỏ nhất
b) tìm điều kiện để MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
c) tìm điều kiện để MNPQ có chu vi và diện tích đồng thời nhỏ nhất

 

[Bonechimte]

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông.
a) tìm điều kiện để MNPQ có chu vi nhỏ nhất
b) tìm điều kiện để MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
c) tìm điều kiện để MNPQ có chu vi và diện tích đồng thời nhỏ nhất

Gọi $E,F,G$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $MQ,MP,NP$
a,
$\Delta{AMQ}$ vuông tại $A$ có $AE$ là đường trung tuyến nên $AE=\dfrac{MQ}{2}$
$\Longrightarrow MQ=2AE$
$EF,FG$ đường trung bình của $MPQ,NPM$
$\left\{\begin{matrix}
EF=\dfrac{PQ}{2}\\FG=\dfrac{MN}{2}
\end{matrix}\right.$
$\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}
PQ=2EF\\MN=2FG
\end{matrix}\right.$
$P_{MNPQ}=MN+NP+PQ+MQ$
$=2FE+2GC+2EF+2AE$
$=2(AE+EF+FG+GC) \ge 2AC$
Dấu $"="$ xảy ra khi $A,E,F,G,C$ thẳng hàng $\Rightarrow$ 4 đỉnh của tứ giác $MNPQ$ là trung điểm của $4$ cạnh của hình vuông $ABCD$, khi đó thì $MNPQ$ là hình vuông
$MinP_{MNPQ}=2AC$