Lời giải chi tiết
Ta có: [TEX]^SAMN=\frac{AM.AN.sin\widehat{BAC}}{2}=\frac{AM.AN.\sqrt{3}}{4}[/TEX](1) (vì ABC đều nên [TEX]\widehat{BAC}=60^o[/TEX])
GS: AB=AC=a( >0)
Ta có [TEX]AM+MB=AN+NC=a \ \Rightarrow \ MB=a-AM \ , \ NC=a-AN[/TEX]
Laị có : [TEX]\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1 \ \Rightarrow \ \frac{AM}{a-AM}+\frac{AN}{a-AN}=1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \ (AM+AN).a-2AM.AN=a^2-a(AM+AN)+AM.AN[/TEX] (quy đồng, chuyển vế)
[TEX]\Leftrightarrow \ 3AM.AN-2a(AM+AN)+a^2=0[/TEX]
Theo bđt Cô-si ta có: [TEX]AM+AN \ \geq \ 2\sqrt{AM.AN}[/TEX]
Khi đó ta có: [TEX]0 \ = \ 3AM.AN \ - \ 2a(AM+AN)+a^2 \ \leq \ 3AM.AN \ - \ 4a.AM.AN+a^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \ (3\sqrt{AM.AN}-a)(\sqrt{AM.AN}-a) \ \geq \ 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \ \left[\begin{\sqrt{AM.AN} \ \leq \frac{a}{3}}\\{\sqrt{AM.AN} \geq 1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \ AM.AN \ \leq \ \frac{a^2}{9}[/TEX] (2)
Từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow \ ^SAMN=\frac{AM.AN.\sqrt{3}}{4} \ \leq\ \frac{a^2\sqrt{3}}{36}= \ \frac{a^2\sqrt{3}}{4.9}= \ \frac{^SABC}{9}[/TEX]
Vậy GTLN max [TEX]^SAMN=\frac{^SABC}{9}[/TEX] có dc khi AM=AN=[TEX]\frac{a}{3}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn