Cực trị hình học

[chankemy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho tam giác đều ABC, các điểm M,N lần lượt di chuyển trên 2 cạnh AB và AC sao cho [TEX]\frac{AM}{AB}+ \frac{AN}{NC} = 1[/TEX]. Tìm vị trí của M, N để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất.
2) Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ,IN, IK lần lượt vuông góc với BC, AC và AB. Tìm vị trí của I để [TEX]IM^2+IN^2+IK^2[/TEX] nhỏ nhất

 

[lp_qt]

Câu 2

Kẻ đường cao AH

Ta có:

$AKIM$ là hình chữ nhật $\rightarrow IK^2+IN^2=IA^2$

$$\rightarrow IK^2+IN^2+IM^2=IA^2+IM^2 \ge \dfrac{(IA+IM)^2}{2} \ge \dfrac{AM^2}{2} \ge \dfrac{AH^2}{2} $$

(Tính chất 3 điểm: Với $A;B;C$ phân biệt bất kỳ: $AB +BC \ge AC$ và tính chất đường xiên vf hình chiếu)

Dấu bằng xảy ra khi $ \left\{\begin{matrix}
IA=IM & \\
IA \equiv IM & \\
AM = AH &
\end{matrix}\right. \iff$ I là trung điểm của AH