cực trị hình học

[congquyen134]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC=a. Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của D và E trên BC. Tìm diện tích lớn nhất của tứ giác DEKH?
2/ Cho tam giác ABC, 3 phân giác trong AD, BE, CF đồng quy ở I. Tìm tính chất tam giác ABC khi tích T=AI/AD.BI/BE.CI/CF
3/ Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD/AB=BE/BC=CF/CA = k. Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF có GTNN?
4/ Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Hai đường thẳng CM và DM cắt nhau tại E, hai đường thẳng BM và AN cắt nhau tại F. C/m:
a/ S(MNEF) = S(ΔDEC)+S(ΔAFB)
b/ AF/FN+BF/FM+CE/EM+DE/EN≥4

 

[dien0709]

1/ Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC=a. Các điểm D, E theo thứ tự chuyển động trên các cạnh AB, AC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu của D và E trên BC. Tìm diện tích lớn nhất của tứ giác DEKH?

Để ý các tam giác BHD và CKE vuông cân

=>$2S=(DH+EK)HK=(BH+KC)HK=(a-HK)HK=-HK^2+aHK$

$2S=\dfrac{a^2}{4}-(HK-\dfrac{a}{2})^2\le \dfrac{a^2}{4}=>S_{max}=\dfrac{a^2}{8}$

 

[dien0709]

3/ Cho tam giác ABC có diện tích S. Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD/AB=BE/BC=CF/CA = k. Với giá trị nào của k thì diện tích tam giác DEF có GTNN?

Gọi độ dài đường vuông góc kẽ từ A và F xuống BC là $h_A ,h_F$

$\dfrac{h_F}{h_A}=\dfrac{CF}{CA}=k$ , $\dfrac{BE}{BC}=k=>\dfrac{BC-BE}{BC}=\dfrac{1-k}{1}=>\dfrac{CE}{CB}=1-k$

$\dfrac{S_{EFC}}{S_{ABC}}=\dfrac{h_F}{h_A}.\dfrac{CE}{CB}=k(1-k)$

Tương tự với 2 tam giác BED và ADF

$=>S_{FEC}=S_{DEF}=S_{BDE}=S(1-k)k$

$=>S_{FED}=S-3S(1-k)k=S(3k^2-3k+1)=S[3(k-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}]\ge\dfrac{S}{4}$

$ycbt=>k=\dfrac{1}{2}$