Cực trị hình học

[toantoan2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với AB, AC tại D,E. I là điểm bất kì trên cung nhỏ DE (I khác D,E). Tiếp tuyến tại I cắt cạnh AB, AC tại M, N. Xác định vị trí của I để diện tích tam giác AMN lớn nhất.

 

[dien0709]

Tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O nằm trên BC và tiếp xúc với AB, AC tại D,E. I là điểm bất kì trên cung nhỏ DE (I khác D,E). Tiếp tuyến tại I cắt cạnh AB, AC tại M, N. Xác định vị trí của I để diện tích tam giác AMN lớn nhất.

Mình trình bày 2 CM:suy luận và cố gắng ch.minh của mình,các bạn xem và cho ý kiến nha.Gọi $J=AO$\bigcup_{}^{}$(O)$ J giữa A và O

+)Suy luậnễ thấy O thuộc trung trực của BC.Giả sử có I thỏa ycbt,ta dễ dàng tìm được thêm I' đ/xứng với I qua AO có t/chất tương tự=> không còn max nửa.Vậy để thỏa ycbt=>đ/x của $\Delta{AMN}$ qua AO là chính nó\Rightarrow $I\equiv J$,không hiểu Thầy Cô có chấp nhận CM này không?

+)CM:- Ta có cv $\Delta{AMN}$=$2AD$=$2a$\Rightarrow nửa chu vi $p=a$

-Theo công thức Heron $S=\sqrt[]{p(p-x)(p-y)(p-z)}$ với $0$< $x,y,z$<$a$ là 3 cạnh $\Delta{AMN}$ và $x+y+z=2a$(công thức hơi quá L9,mình không biết cách khác).

\Leftrightarrow $\dfrac{4S^2}{a}=(a-x)4(a-y)(a-z)$\leq $(a-x)(a-y+a-z)^2$=$(a-x)x^2$=$-x^3+ax^2$ \leq $\dfrac{4a^3}{27}$

-$ycbt$\Leftrightarrow $a-y$=$a-z$\Leftrightarrow $y=z $\Leftrightarrow $I\equiv J$