Cực trị hình học

[quangltm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh 1 tam giác có diện tích $S$. Chứng minh $a^2 + 4b^2 + 12c^2 \ge 32 S$

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzz

Cho $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh 1 tam giác có diện tích $S$. Chứng minh $a^2 + 4b^2 + 12c^2 \ge 32 S$

giả sử tam giác đó là $ABC$ với $BC=a, AB=c, AC=b$
từ $A$ kẻ đường cao $AH$.
\Rightarrow $c^2 = AH^2+BH^2; b^2=AH^2+HC^2$
\Rightarrow $a^2 + 4b^2 + 12c^2=a^2+4(AH^2+BH^2)+12(AH^2+HC^2)$
\Leftrightarrow $a^2 + 4b^2 + 12c^2=a^2+16AH^2 + 4(BH^2+3HC^2)$
áp dụng BĐT Bunhiacopxki có:
$(1+\frac{1}{3})(BH^2+3HC^2) \ge (BH+HC)^2 =a^2$
\Leftrightarrow $4(BH^2+3HC^2) \ge 3a^2$
\Rightarrow $a^2+16AH^2 + 4(BH^2+3HC^2) \ge 4a^2+16AH^2 \ge 16a.AH=32S$
\Rightarrow $a^2 + 4b^2 + 12c^2 \ge 32S$
dấu $"="$ xảy ra khi ...