Cực trị hình học

[conangbonmat]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Làm hộ mình mấy bài này với
1, Trong các tứ giác lồi ABCD có AD=a , BC=b (a,b là các hằng số) xác định dạng của tứ giác ABCD để độ dài đoạn MN nối trung điểm các cạnh AB và CD là lớn nhất

2, CMR: Trong tứ giác lồi có 2 đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau hình vuông có chu vi nhỏ nhất

 

[hthtb22]

Bài 1
Gọi P là trung điểm đường chéo AC
Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác ABC va ADC có:

PM = [tex]\frac{BC}{2}=\frac{b}{2}[/tex]

PN= [tex]\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}[/tex]

Với 3 điểm P,M,N ta có MN \leq PM+PN

\Rightarrow MN\leq [tex]\frac{a+b}{2}[/tex] không đổi

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow P,M,N thẳng hàng
\Leftrightarrow AD//MN//BC
\Leftrightarrow ABCD là hình thang.

Câu 2:
Xét tứ giác ABCD có O là giao 2 đường chéo
AC=BD ; AC vuông góc BD

Ta có [tex]2AB^2 = 2(OA^2+OB^2 )\geq (OA+OB)^2[/tex] bđt BUNHIA
\Rightarrow 2AB \geq OA+OB
Tương tự 2BC \geq OB+OC
2CD\geq OC+OD
2DA\geqOA+AD
\Rightarrow [tex]P_{ABCD} \geq 2AC[/tex]

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow OA=OB=OC=OD \Leftrightarrow ABCDlà hình vuông

 

[conangbonmat]

Bạn này mình k hiểu câu 2
Cái đoạn 2AB^2\geq(OA+OB)^2
\Rightarrow 2AB\geqOA+OB

 

[vy000]

ta có
[TEX] \sqrt[]{a_1^2+b_1^2}+\sqrt[]{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt[]{a_n^2+b_n^2}\geq\sqrt[]{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}[/TEX](BĐT Mincopsky)
[TEX]AB+BC+CD+DA = \sqrt[]{OA^2+OB^2}+\sqrt[]{OB^2+Oc^2}+\sqrt[]{OC^2+OD^2}+\sqrt[]{OD^2+OA^2} \geq \sqrt[]{(OA+OB+OC+OD)^2+(OA+OB+OC+OD)^2}=[/TEX]chu vi hình vuông có 2 đương chéo là AD và BC