Cho hình vuông ABCD trên BC, DC lấy 2 điểm E,F sao cho góc EAF = 45 độ .Tìm vị trí của E,F để diện tích tam giác CEF lớn nhất
bài này tớ sẽ tìm 1 kết quả mạnh hơn là vị trí của E,F để [tex]S_{AEF}[/tex] [tex] max[/tex]
Ta có: Giả sử hình vuông ABCD có độ dài các cạnh là [tex]m(m>0)[/tex]
Đặt [tex]a=BE; b=DF(0 \leq a,b \leq m[/tex]
Trên tia CB đặt điểm N sao cho [tex]BN=FD=b[/tex]
Từ giả thiết ta có: [tex]AB=AD; BE=ND; \hat{ABN}=\hat{FDA}=90^0 \Rightarrow \triangle \ ABN=\triangle \ ADF(c.g.c)[/tex]
[tex]\Rightarrow AE=AN \bigwedge \ \hat{NAB}=\hat{FAD}[/tex]
Vì vậy [tex]\hat{NAE}=\hat{NAB}+\hat{BAE}=\hat{FAD}+\hat{BAE}=90^0-45^0=45^0[/tex]
Mà [tex] AN=AF; AB=AD; \hat{NAB}=\hat{FAD} \Rightarrow \triangle \ AEN=\triangle \ AMF(c.g.c)[/tex]
[tex]\Rightarrow EF=EN=EB+BN=a+b[/tex]
Áp dụng định lý [tex]Pytagore[/tex] cho tam giác CEF
Ta có : [tex]EF^2=CE^2+CF^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a+b)^2=(m-a)^2+(m-b)^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow m(a+b)=m^2-ab[/tex]
Đặt [tex]a+b=t(t>0)(1) \Rightarrow ab=m^2-m.t(2)[/tex]
Mà ta lại có: [tex]S_{AEF}=S_{ABCD}-S_{ABE}-S_{ADF}-S_{CMN}=\frac{1}{2}.(m^2-ab)(3)[/tex]
Thế (2) vào (3) ta có: [tex]S_{AEF}=\frac{1}{2}(m^2-m^2+mt)=\frac{1}{2}.m.t[/tex]
Từ (1) và (2) ta có hpt: [tex]\left{\begin{a+b=t}\\{a.b=m^2-mt[/tex]
Nên a, b là 2 nghiệm của pt
[tex] x^2-t.x+m^2-mt=0[/tex][*]
Phương trình [*] có nghiệm khi và chỉ khi [tex]\Delta =t^2+4mt-4m^2 \geq 0 [/tex]
[tex]\Leftrightarrow t \geq 2(\sqrt{2}-1).m[/tex]
[tex] \Rightarrow t_{min} =2(\sqrt{2}-1).m \Leftrightarrow x=m(\sqrt{2}-1)[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{AEF}_{min}=\frac{1}{2}m.t=m^2.(\sqrt{2}-1)[/tex]
Đạt được khi [tex]a=b=m.(\sqrt{2}-1)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn