Cực trị + giải phương trình

[trungthinh.99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho $a+b=2$. Tìm GTLN của $A=ab(a^2+b^2)$

2. (cái này hình mình từng đăng rồi mà k nhớ ở đâu). Các số dương x và y thoả mãn điều kiện $x+y=1$. Tìm GTNN của

$F=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )$

3. Phương trình:

a. $(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$

b. $\sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2(x+1)}$

 

[forum_]

2/

Có BĐT: $xy$ \leq $\dfrac{(x+y)^2}{4}$ (Cauchy)

$F = x^2y^2 + \dfrac{1}{x^2y^2} +2 = (x^2y^2 + \dfrac{1}{256x^2y^2})+\dfrac{255}{256x^2y^2} +2 $ \geq

$2\sqrt[]{\dfrac{1}{256}} + \dfrac{255}{256.(\dfrac{1}{4})^2} +2 = \dfrac{289}{16}$

(Cauchy)

Vậy min = .....

Dấu = tại $x = y = \dfrac{1}{2}$

 

[congchuaanhsang]

1, $A=ab(a^2+b^2)=ab(4-2ab)=-2(a^2b^2-2ab+1)+2=-2(ab-1)^2+2$ \leq 2

$A_{max}=2$ \Leftrightarrow $a=b=1$

 

[xuanquynh97]

Bài 3 a) Nhận thấy:
$x^2−4x+11=(x−2)^2+7≥7$

$x^4−8x^2+21=(x^2−4)^2+5≥5$

Vì vậy:

$(x^2−4x+11)(x^4−8x^2+21)≥35$

Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi $x−2=0$ và $x^2−4=0$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

 

[forum_]

3b/ ĐK: ...........

PT \Leftrightarrow $\sqrt{\dfrac{x^2+3}{x}}-2=\frac{x^2+7}{2(x+1)}-2$

\Leftrightarrow $\dfrac{x^2+3-4x}{x.(\dfrac{x^2+3}{x}+2)}=\frac{x^2+7-4(x+1)}{2(x+1)}$

\Leftrightarrow $\dfrac{x^2+3-4x}{x.(\dfrac{x^2+3}{x}+2)}=\frac{x^2-3x+4}{2(x+1)}$

Do đó:

$x^2-3x+4=0$ \Leftrightarrow x = 1 or x = 3

Hoặc là:

$\dfrac{1}{x.(\dfrac{x^2+3}{x}+2)}=\frac{1}{2(x+1)}$

\Leftrightarrow $x.(\dfrac{x^2+3}{x}+2) = 2(x+1)$

\Leftrightarrow $x.\dfrac{x^2+3}{x} = 2$

Giải cái này khá đơn giản , bình phương 2 vế

KL : .............

 

[trungthinh.99]

2/

Có BĐT: $xy$ \leq $\dfrac{(x+y)^2}{4}$ (Cauchy)

$F = x^2y^2 + \dfrac{1}{x^2y^2} +2 = (x^2y^2 + \dfrac{1}{256x^2y^2})+\dfrac{255}{256x^2y^2} +2 $ \geq

$2\sqrt[]{\dfrac{1}{256}} + \dfrac{255}{256.(\dfrac{1}{4})^2} +2 = \dfrac{289}{16}$

(Cauchy)

Vậy min = .....

Dấu = tại $x = y = \dfrac{1}{2}$

Tại sao lại là $\frac{1}{256}$ mà không phải là $\frac{1}{4}$

 

[trungthinh.99]

1, $A=ab(a^2+b^2)=ab(4-2ab)=-2(a^2b^2-2ab+1)+2=-2(ab-1)^2+2$ \leq 2

$A_{max}=2$ \Leftrightarrow $a=b=1$

$a+b$ \geq $2\sqrt{ab}$
\Leftrightarrow 2 \geq $2\sqrt{ab}$
\Leftrightarrow ab \leq 1
\Leftrightarrow $ab-1$ \leq 0
\Leftrightarrow $-2(ab-1)+2$ \geq 2 !!!

 

[evilfc]

bạn ấy chọn $\dfrac{1}{256}$ mà không chọn $\dfrac{1}{4}$ vì nếu là $\dfrac{1}{4}$ thì dấu "=" không xảy ra.
$x^2y^2$+$\dfrac{1}{4x^2y^2}$\geq1 (áp dụng BDT côsi)
dấu "=" không thể xảy ra vì không thoả x+y=1

 

[huynhbachkhoa23]

$a+b$ \geq $2\sqrt{ab}$
\Leftrightarrow 2 \geq $2\sqrt{ab}$
\Leftrightarrow ab \leq 1
\Leftrightarrow $ab-1$ \leq 0
\Leftrightarrow $-2(ab-1)+2$ \geq 2 !!!

$ab-1 \le 0$ nhưng $(ab-1)^2 \ge 0$...............................................