- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 25
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. bài toán cực trị của độ dài đoạn thẳng
- trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz, cho 2 điểm [tex]A(x_1;y_1;z_1)[/tex] và [tex]B(x_2;y_2;z_2)[/tex]:
độ dài đoạn AB được tính theo công thức: [tex]AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}[/tex].
- với bài toán cho 2 điểm A và B di động trên 2 mặt phẳng phân biệt. yêu cầu tìm GTNN, GTLN của đoạn AB.
để giải quyết, ta cần sử dụng các kiến thức:
- Bất đẳng thức tam giác, với mọi điểm M ta có:
[tex]|MA-MB|\leq AB\leq MA+MB[/tex]
+ dấu bằng bên phải xảy ra khi M nằm bên trong đoạn AB.
+ dấu bằng bên trái xảy ra khi M nằm ngoài đoạn AB, và 3 điểm thẳng hàng.
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:
- cho 2 mặt phẳng [tex](P)[/tex] [tex](Q)[/tex] có phương trình lần lượt là [tex]a.x+b.y+c.z+d_1=0[/tex] và [tex]a.x+b.y+c.z+d_2=0[/tex]. khoảng cách giữa 2 mặt phẳng được tính bởi công thức:
[tex]d=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex]
- khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: cho 2 đường thẳng [tex]d_1[/tex] và [tex]d_2[/tex] có vecto chỉ phương lần lượt là [tex]\overrightarrow{u_1}[/tex] và [tex]\overrightarrow{u_2}[/tex]. điểm A và B lần lượt thuộc 2 đường thẳng. khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng được tính bằng công thức:
[tex]d(d_1,d_2)=\frac{|[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}].\overrightarrow{AB}}{|[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]|}[/tex]
2. ví dụ
ví dụ 1:
trong không gian Oxyz, cho đường thẳng [tex]d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}[/tex] và [tex]d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}[/tex]. một mặt phẳng (P) vuông góc [tex]d_1[/tex], cắt Oz tại A và đường thẳng [tex]d_2[/tex] và B. tìm GTNN của độ dài đoạn thẳng AB.
giải:
giả sử [tex]A\in Oz[/tex] có tọa độ là [tex](0;0;a)[/tex]
giả sử [tex]B\in d_2[/tex] có tọa độ là [tex](1+b;2b;-2+b)[/tex]
suy ra [tex]\overrightarrow{AB}=(1+b;2b:-2+b-a)[/tex]
do (P) vuông góc với [tex]d_1[/tex], nên:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0<=>2.(1+b)-1.(2b)+1.(-2+b-a)=0<=>a=b[/tex]
do đó, [tex]\overrightarrow{AB}=(1+a;2a;-2)[/tex]
độ dài đoạn AB: [tex]AB=\sqrt{(1+a)^2+(2a)^2+(-2)^2}=\sqrt{5a^2+2a+5}\geq \sqrt{\frac{24}{5}}[/tex]
vậy, độ dài nhỏ nhất của đoạn AB là [tex]\sqrt{\frac{24}{5}}[/tex]
ví dụ 2:
cho các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn: [tex]\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2-2a+4b+2c-6=0\\ 2d-e+2f-14=0 \end{matrix}\right.[/tex]. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]T=(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2[/tex]
giải:
giả sử M(a;b;c) => tập hợp điểm M là 1 đường tròn tâm I(1;-2;1) bán kính [tex]R=2\sqrt{3}[/tex].
giả sử N(d;e;f) => tập hợp điểm N là mặt phẳng [tex](P):2x-y+2z-14=0[/tex]
khi đó: [tex]T=MN^2[/tex]
xét thấy: [tex]d(I,(P))> R[/tex], do đó đường tròn và mặt phẳng không có điểm chung.
nên GTNN của MN là:
[tex]min=d(I,(P))-R=4-2\sqrt{3}[/tex]
suy ra [tex]T\geq (4-2\sqrt{3})^2=28-16\sqrt{3}[/tex]
- trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz, cho 2 điểm [tex]A(x_1;y_1;z_1)[/tex] và [tex]B(x_2;y_2;z_2)[/tex]:
độ dài đoạn AB được tính theo công thức: [tex]AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}[/tex].
- với bài toán cho 2 điểm A và B di động trên 2 mặt phẳng phân biệt. yêu cầu tìm GTNN, GTLN của đoạn AB.
để giải quyết, ta cần sử dụng các kiến thức:
- Bất đẳng thức tam giác, với mọi điểm M ta có:
[tex]|MA-MB|\leq AB\leq MA+MB[/tex]
+ dấu bằng bên phải xảy ra khi M nằm bên trong đoạn AB.
+ dấu bằng bên trái xảy ra khi M nằm ngoài đoạn AB, và 3 điểm thẳng hàng.
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:
- cho 2 mặt phẳng [tex](P)[/tex] [tex](Q)[/tex] có phương trình lần lượt là [tex]a.x+b.y+c.z+d_1=0[/tex] và [tex]a.x+b.y+c.z+d_2=0[/tex]. khoảng cách giữa 2 mặt phẳng được tính bởi công thức:
[tex]d=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex]
- khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: cho 2 đường thẳng [tex]d_1[/tex] và [tex]d_2[/tex] có vecto chỉ phương lần lượt là [tex]\overrightarrow{u_1}[/tex] và [tex]\overrightarrow{u_2}[/tex]. điểm A và B lần lượt thuộc 2 đường thẳng. khi đó, khoảng cách giữa 2 đường thẳng được tính bằng công thức:
[tex]d(d_1,d_2)=\frac{|[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}].\overrightarrow{AB}}{|[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]|}[/tex]
2. ví dụ
ví dụ 1:
trong không gian Oxyz, cho đường thẳng [tex]d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}[/tex] và [tex]d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}[/tex]. một mặt phẳng (P) vuông góc [tex]d_1[/tex], cắt Oz tại A và đường thẳng [tex]d_2[/tex] và B. tìm GTNN của độ dài đoạn thẳng AB.
giải:
giả sử [tex]A\in Oz[/tex] có tọa độ là [tex](0;0;a)[/tex]
giả sử [tex]B\in d_2[/tex] có tọa độ là [tex](1+b;2b;-2+b)[/tex]
suy ra [tex]\overrightarrow{AB}=(1+b;2b:-2+b-a)[/tex]
do (P) vuông góc với [tex]d_1[/tex], nên:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0<=>2.(1+b)-1.(2b)+1.(-2+b-a)=0<=>a=b[/tex]
do đó, [tex]\overrightarrow{AB}=(1+a;2a;-2)[/tex]
độ dài đoạn AB: [tex]AB=\sqrt{(1+a)^2+(2a)^2+(-2)^2}=\sqrt{5a^2+2a+5}\geq \sqrt{\frac{24}{5}}[/tex]
vậy, độ dài nhỏ nhất của đoạn AB là [tex]\sqrt{\frac{24}{5}}[/tex]
ví dụ 2:
cho các số thực a, b, c, d, e, f thỏa mãn: [tex]\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2-2a+4b+2c-6=0\\ 2d-e+2f-14=0 \end{matrix}\right.[/tex]. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]T=(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2[/tex]
giải:
giả sử M(a;b;c) => tập hợp điểm M là 1 đường tròn tâm I(1;-2;1) bán kính [tex]R=2\sqrt{3}[/tex].
giả sử N(d;e;f) => tập hợp điểm N là mặt phẳng [tex](P):2x-y+2z-14=0[/tex]
khi đó: [tex]T=MN^2[/tex]
xét thấy: [tex]d(I,(P))> R[/tex], do đó đường tròn và mặt phẳng không có điểm chung.
nên GTNN của MN là:
[tex]min=d(I,(P))-R=4-2\sqrt{3}[/tex]
suy ra [tex]T\geq (4-2\sqrt{3})^2=28-16\sqrt{3}[/tex]
