[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Xin chào,lại là mình đây!Có lẽ các bạn thắc mắc không biết nội dung topic trên sẽ là gì đúng không nào....Vậy thì ngay bây giờ các bạn sẽ biết nó là gì 
*Mục đích:
Mình sẽ chia topic làm 3 phần để đăng nhé phần 1 là có chứng minh còn phần 2,3 thì mình chỉ hệ thống công thức thôi và các bạn nhớ theo dõi topic để nhận được thông báo khi có bài đăng mới của topic nha
*Quản lí
1. Cho RLC nối tiếp,U không đổi, R thay đổi được, có 2 giá trị [imath]R_1[/imath] và [imath]R_2[/imath] làm cho công suất mạch cùng bằng [imath]P_{12}[/imath]. Khi [imath]R=R_o[/imath] thì công suất mạch đạt cực đại. Ta sẽ có:
• [imath]P_{12} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}[/imath]
• [imath]R_0^2 = R_1.R_2[/imath]
• [imath]P_{max} = \frac{U^2}{2R_0}[/imath]
CM:
Từ đó suy ra khi [imath]R = R_o, R = R_1, R = R_2[/imath] thì hệ số công suất của đoạn mạch có giá trị tương ứng là:
• [imath]cos \phi _0 = \frac{ \sqrt{2}}{2}[/imath]
• [imath]cos \phi _1 = \sqrt{ \frac{R_1}{R_1 + R_2}}[/imath]
• [imath]cos \phi _2 = \sqrt{ \frac{R_2}{R_1 + R_2}}[/imath]
Cm:
2. Cho RLC nối tiếp,R không đổi, [imath]w[/imath] thay đổi được. Tìm [imath]w = w_L[/imath] để giá trị hiệu dụng [imath]U_L[/imath] đạt cực đại, tìm [imath]w=w_R[/imath] để giá trị hiệu dụng [imath]U_R[/imath] đạt giá trị cực đại, tìm [imath]w = w_C[/imath] để giá trị hiệu dụng [imath]U_c[/imath] đạt giá trị cực đại. Ta sẽ có:
[imath]w_R^2 = w_L.w_C[/imath]
Giải:
Đồ thị U theo [imath]w[/imath]
3. Cho đoạn mạch [imath]RLC[/imath] có [imath]Z_L[/imath] hoặc [imath]Z_C[/imath] thay đổi được. .
Khi mạch chỉ có [imath]Z_L[/imath] thay đổi được
[imath]Z_L = \frac{Z_C^2 + R^2}{Z_C}[/imath]
[imath]U_{Lmax}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(Z_L-Z_C)^2}}.Z_L=U\sqrt{\frac{Z_L^2}{Z_L^2-Z_L.Z_C}}=U\sqrt{\frac{Z_C^2+R^2}{Z_C}.\frac{Z_C}{R}}=\frac{U\sqrt{Z_C^2+R^2}}{R}[/imath]
Khi mạch chỉ có [imath]Z_C[/imath] thay đổi được
[imath]Z_C = \frac{Z_L^2 + R^2}{Z_L}[/imath]
[imath]U_{Cmax}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(Z_L-Z_C)^2}}.Z_L=U\sqrt{\frac{Z_C^2}{Z_C^2-Z_L.Z_C}}=U\sqrt{\frac{Z_L^2+R^2}{Z_L}.\frac{Z_L}{R}}=\frac{U\sqrt{Z_L^2+R^2}}{R}[/imath]
4.Cho đoạn mạch [imath]RLC[/imath] có [imath]C[/imath] thay đổi được. Khi [imath]C = C_1[/imath], [imath]C = C_2[/imath] thì [imath]I_1 = I_2[/imath]. Khi [imath]C = C_0[/imath] thì trong mạch có cộng hưởng điện. Ta sẽ có:
[imath]C_0 = 2 \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}[/imath]
Cm:
5. Mạch R-r-L-C có [imath]\omega[/imath] thay đổi, U là hằng số. Khi chỉnh [imath]\omega =\omega_1[/imath] và [imath]\omega= \omega_2=i\omega_1[/imath] thì mạch tiệu thụ cùng hệ số công suất là [imath]\cos \varphi _2=\cos \varphi _1[/imath] với [imath]L=nCR^2[/imath] và [imath]r=kR[/imath]
Từ đề ta có
[imath]\cos \varphi _2=\cos \varphi _1[/imath] [imath]\Rightarrow |Z_{L_1}+Z_{C_1}|=|Z_{L_2}-Z_{C_2}|(*)\Leftrightarrow[/imath] [imath]LC=\frac{1}{\omega _1\omega _2}[/imath] (1)
Từ (1)[imath]\Rightarrow L_{\omega_1}=\frac{1}{C_{\omega_2}}\Leftrightarrow Z_{L_1}=Z_{C_2}\Rightarrow Z_{L2}=Z_{C1}[/imath] do (*)
Lúc này ta xét
[imath]\tan\varphi _1=\frac{\sqrt{n}}{k+1}|\frac{1}{\sqrt{i}-\sqrt{i}}|[/imath]
từ tỷ lệ giữa [imath]\omega _1[/imath] và [imath]\omega _2[/imath] ta dễ dàng tính ra [imath]\tan \omega _1[/imath]rồi dùng máy tính ra [imath]\cos \omega _1[/imath] hoặc có thể áp dụng công thức [imath]1+\tan ^2\varphi = |\frac{1}{\cos ^2\varphi }|[/imath]
6.Khảo sát [imath]U_C[/imath] theo [imath]ω^2[/imath]
- Khi [imath]ω^2=0[/imath] thì [imath]Z_C=∞=Z_{AB}[/imath] và [imath]U_C = U_{AB}[/imath]
- Khi [imath]ω^2=[/imath][imath]ω^2_2[/imath] thì [imath]U_{C_{max}}[/imath]
- Khi [imath]ω^2=∞[/imath], [imath]I=0[/imath],[imath]U_C=0[/imath]
7.Mạch R-L-C có [imath]u=U\sqrt{2}\cos2\pi ft[/imath](V) (U ko đổi,[imath]f[/imath] thay đổi và [imath]CR^2 < 2L[/imath]). Chỉnh [imath]f= f_c[/imath]
Chứng minh.
a) [imath]\omega ^{2}_{C} = \frac {2LC-R^2C^2}{2L^2C^2}[/imath] và [imath]\tan \omega _{RL}.\tan \phi =\frac{-1}{2} \Rightarrow Z^2_C=Z^2+Z^2_L[/imath].
b) [imath]\omega _L^2 = \frac{2}{aLC-R^2C^2}[/imath] và [imath]\omega _R^2 =\frac{1}{LC}[/imath](cộng hưởng)[imath]\Rightarrow U_{Cmax}=\frac{U}{\sqrt{1-(\frac{f_C}{f_L})^2}}[/imath]
c) [imath]\cos \varphi _C=\sqrt{ \frac{2f_c}{f_L+f_c}}[/imath] và khi chỉnh [imath]f=f_c[/imath] được [imath]U_{C1}=U\Rightarrow f_1=f_C\sqrt{2}[/imath]
Giải:
8.Cho mạch nối tiếp R-L-C có f thay đổi đc [imath](CR^2<2L)[/imath]. Lần lượt chỉnh [imath]f=f_C[/imath] và [imath]f=f_L[/imath] thì điện áp hiệu dụng 2 đầu tụ điện và cuộn cảm đạt max, hệ số công suất tương ứng là [imath]\cos \varphi _1[/imath] và [imath]\cos \varphi _2[/imath]
CMR [imath]\cos \varphi _1=\sqrt{\frac{2f_C}{f_L+f_C}}[/imath] và [imath]\cos \varphi _2=\sqrt{\frac{2f_L}{f_L+f_C}}[/imath]
9. Mạch R-L-C có [imath]\omega[/imath] thay đổi. Chỉnh L để [imath]U_{RLmax}[/imath]ta được [imath]U_{RLmax}=\frac{U}{\tan\varphi _o}[/imath] với [imath]\tan\varphi _o=\frac{Z_L-Z_C}{R}[/imath].
Mình sẽ up phần tổng hợp công thức sau nhé cảm ơn các bạn đã ghé thăm topic
*Mục đích:
- Hệ thống cũng như ôn lại các công thức tính nhanh khi làm bài tập phần cực trị điện xoay chiều
- Cải thiện kỹ năng và tốc độ làm bài
Mình sẽ chia topic làm 3 phần để đăng nhé phần 1 là có chứng minh còn phần 2,3 thì mình chỉ hệ thống công thức thôi và các bạn nhớ theo dõi topic để nhận được thông báo khi có bài đăng mới của topic nha
*Quản lí
- @No Name
- BQT box Lí
1. Cho RLC nối tiếp,U không đổi, R thay đổi được, có 2 giá trị [imath]R_1[/imath] và [imath]R_2[/imath] làm cho công suất mạch cùng bằng [imath]P_{12}[/imath]. Khi [imath]R=R_o[/imath] thì công suất mạch đạt cực đại. Ta sẽ có:
• [imath]P_{12} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}[/imath]
• [imath]R_0^2 = R_1.R_2[/imath]
• [imath]P_{max} = \frac{U^2}{2R_0}[/imath]
CM:
Ta có:
[imath]P=I^2R=\frac{U^2R}{R^2+(Z_L-Z_C)^2}[math]\Leftrightarrow PR^2 - U^2R +P(Z_L-Z_C)^2=0[/imath]
Pt trên là 1 pt bậc 2 theo R.
Gọi 2 nghiệm của pt đó là [imath]R_1[/imath] và [imath]R_2[/imath]. Theo viet ta có:
[imath]R_1 + R_2 = \frac{-b}{a} = \frac{U^2}{P} = \frac{U^2}{P_{12}}[/imath]
[imath]R_1.R_2 = \frac{c}{a} = \frac{P(Z_L-Z_C)^2}{P} = (Z_L-Z_C)^2[/imath](1)
Khi công suất trong mạch đạt cực đại thì [imath]R_0 = Z_L-Z_C[/imath](2)
Thay (2) vào (1) [imath]=> R_1R_2=R_0^2[/imath]
Khi đó:
[imath]P_{max} = \frac{U^2R_0}{R_0 + (Z_L-Z_C)^2}[/imath](3)
Thay (2) vào (3):
[imath]P_{max} = \frac{U^2}{2R_o}[/imath]
[imath]P=I^2R=\frac{U^2R}{R^2+(Z_L-Z_C)^2}[math]\Leftrightarrow PR^2 - U^2R +P(Z_L-Z_C)^2=0[/imath]
Pt trên là 1 pt bậc 2 theo R.
Gọi 2 nghiệm của pt đó là [imath]R_1[/imath] và [imath]R_2[/imath]. Theo viet ta có:
[imath]R_1 + R_2 = \frac{-b}{a} = \frac{U^2}{P} = \frac{U^2}{P_{12}}[/imath]
[imath]R_1.R_2 = \frac{c}{a} = \frac{P(Z_L-Z_C)^2}{P} = (Z_L-Z_C)^2[/imath](1)
Khi công suất trong mạch đạt cực đại thì [imath]R_0 = Z_L-Z_C[/imath](2)
Thay (2) vào (1) [imath]=> R_1R_2=R_0^2[/imath]
Khi đó:
[imath]P_{max} = \frac{U^2R_0}{R_0 + (Z_L-Z_C)^2}[/imath](3)
Thay (2) vào (3):
[imath]P_{max} = \frac{U^2}{2R_o}[/imath]
Từ đó suy ra khi [imath]R = R_o, R = R_1, R = R_2[/imath] thì hệ số công suất của đoạn mạch có giá trị tương ứng là:
• [imath]cos \phi _0 = \frac{ \sqrt{2}}{2}[/imath]
• [imath]cos \phi _1 = \sqrt{ \frac{R_1}{R_1 + R_2}}[/imath]
• [imath]cos \phi _2 = \sqrt{ \frac{R_2}{R_1 + R_2}}[/imath]
Cm:
[imath]R_0[/imath] ứng với [imath]cos \phi _0[/imath], khi công suất toàn mạch đạt cực đại:
[imath]\cos \phi _0=\frac{R_0}{\sqrt{R_0^2+(Z_L-Z_C)^2}}[/math]= \frac{R_0}{ \sqrt{R_0^2 + R_0^2}} = \frac{R_0}{\sqrt{2} R_0}[math]= \frac{1}{ \sqrt{2}}[/imath]
[imath]cos \phi _1 = \frac{R_1}{ \sqrt{R_1^2 + (Z_L – Z_C)^2}}[/math]= \frac{R_1}{ \sqrt{R_1^2 + R_0^2}}[math]= \frac{R_1}{ \sqrt{R_1^2 + R_1R_2}}[/math]= \sqrt{ \frac{R_1}{R_1 + R_2}}[/imath]
Cm tương tự [imath]cos \phi _1[/imath] sẽ có điều phải chứng minh
[imath]\cos \phi _0=\frac{R_0}{\sqrt{R_0^2+(Z_L-Z_C)^2}}[/math]= \frac{R_0}{ \sqrt{R_0^2 + R_0^2}} = \frac{R_0}{\sqrt{2} R_0}[math]= \frac{1}{ \sqrt{2}}[/imath]
[imath]cos \phi _1 = \frac{R_1}{ \sqrt{R_1^2 + (Z_L – Z_C)^2}}[/math]= \frac{R_1}{ \sqrt{R_1^2 + R_0^2}}[math]= \frac{R_1}{ \sqrt{R_1^2 + R_1R_2}}[/math]= \sqrt{ \frac{R_1}{R_1 + R_2}}[/imath]
Cm tương tự [imath]cos \phi _1[/imath] sẽ có điều phải chứng minh
2. Cho RLC nối tiếp,R không đổi, [imath]w[/imath] thay đổi được. Tìm [imath]w = w_L[/imath] để giá trị hiệu dụng [imath]U_L[/imath] đạt cực đại, tìm [imath]w=w_R[/imath] để giá trị hiệu dụng [imath]U_R[/imath] đạt giá trị cực đại, tìm [imath]w = w_C[/imath] để giá trị hiệu dụng [imath]U_c[/imath] đạt giá trị cực đại. Ta sẽ có:
[imath]w_R^2 = w_L.w_C[/imath]
Giải:
Đồ thị U theo [imath]w[/imath]
Do R không đổi nên [imath]U_R[/imath] có cực đại khi có cộng hưởng:
[imath]w_R = \frac{1}{\sqrt{LC}}[/imath]
… [imath]Z_L = wL[/imath], [imath]Z_C = \frac{1}{wC}[/imath]
Ta có:
[imath]U_L = IZ_L = \frac{UwL}{\sqrt{R^2 + (wL - \frac{1}{wC}^2}}[/imath] [imath]= \frac{UwL}{\sqrt{R^2 - \frac{2L}{C}}}+ w^2L^2 + \frac{1}{w^2C^2}[math]= \frac{U}{\sqrt{ \frac{1}{L^2C^2}}} \frac{1}{w^4} + \frac{R^2C^2 - UC}{L^2C^2}. \frac{1}{w^2 + 1}[/imath]
Đặt [imath]a = \frac{1}{w^2}[/imath]
Nhận thấy pt là pt bậc 2 ẩn a nên nó đạt cực đại khi:
[imath]a = \frac{2LC-R^2C^2}{2}[/imath]
Vậy: [imath]w_L = \sqrt{ \frac{2}{2LC - R^2C^2}}[/imath]
Cm tương tự ta có
[imath]w_C = \frac{1}{LC} \sqrt{ \frac{2LC - R^2C^2}{2}}[/imath]
*** Từ các kết quả trên ta có : [imath]w_R^2 = w_L.w_C[/imath]
[imath]w_R = \frac{1}{\sqrt{LC}}[/imath]
… [imath]Z_L = wL[/imath], [imath]Z_C = \frac{1}{wC}[/imath]
Ta có:
[imath]U_L = IZ_L = \frac{UwL}{\sqrt{R^2 + (wL - \frac{1}{wC}^2}}[/imath] [imath]= \frac{UwL}{\sqrt{R^2 - \frac{2L}{C}}}+ w^2L^2 + \frac{1}{w^2C^2}[math]= \frac{U}{\sqrt{ \frac{1}{L^2C^2}}} \frac{1}{w^4} + \frac{R^2C^2 - UC}{L^2C^2}. \frac{1}{w^2 + 1}[/imath]
Đặt [imath]a = \frac{1}{w^2}[/imath]
Nhận thấy pt là pt bậc 2 ẩn a nên nó đạt cực đại khi:
[imath]a = \frac{2LC-R^2C^2}{2}[/imath]
Vậy: [imath]w_L = \sqrt{ \frac{2}{2LC - R^2C^2}}[/imath]
Cm tương tự ta có
[imath]w_C = \frac{1}{LC} \sqrt{ \frac{2LC - R^2C^2}{2}}[/imath]
*** Từ các kết quả trên ta có : [imath]w_R^2 = w_L.w_C[/imath]
3. Cho đoạn mạch [imath]RLC[/imath] có [imath]Z_L[/imath] hoặc [imath]Z_C[/imath] thay đổi được. .
Khi mạch chỉ có [imath]Z_L[/imath] thay đổi được
[imath]Z_L = \frac{Z_C^2 + R^2}{Z_C}[/imath]
[imath]U_{Lmax}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(Z_L-Z_C)^2}}.Z_L=U\sqrt{\frac{Z_L^2}{Z_L^2-Z_L.Z_C}}=U\sqrt{\frac{Z_C^2+R^2}{Z_C}.\frac{Z_C}{R}}=\frac{U\sqrt{Z_C^2+R^2}}{R}[/imath]
Khi mạch chỉ có [imath]Z_C[/imath] thay đổi được
[imath]Z_C = \frac{Z_L^2 + R^2}{Z_L}[/imath]
[imath]U_{Cmax}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(Z_L-Z_C)^2}}.Z_L=U\sqrt{\frac{Z_C^2}{Z_C^2-Z_L.Z_C}}=U\sqrt{\frac{Z_L^2+R^2}{Z_L}.\frac{Z_L}{R}}=\frac{U\sqrt{Z_L^2+R^2}}{R}[/imath]
4.Cho đoạn mạch [imath]RLC[/imath] có [imath]C[/imath] thay đổi được. Khi [imath]C = C_1[/imath], [imath]C = C_2[/imath] thì [imath]I_1 = I_2[/imath]. Khi [imath]C = C_0[/imath] thì trong mạch có cộng hưởng điện. Ta sẽ có:
[imath]C_0 = 2 \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}[/imath]
Cm:
[imath]I_1 = I_2 => (Z_L – Z_{C_1})^ 2 = (Z_L – Z_{C_2})^2[/math]\Leftrightarrow (Z_L –Z_{C_1}) = - (Z_L – Z_{C_2})[math]\Leftrightarrow Z_{C_1} + Z_{C_2} = 2 Z_L[/math] \Leftrightarrow \frac{1}{wC_1} + \frac{1}{wC_2} = 2wL[math]\Leftrightarrow \frac{C_1 + C_2}{wC_1C_2} = 2wL[/math]=> L = \frac{C_1 + C_2}{2C_1C_2w}[/imath]
Khi [imath]C = C_0[/imath], trong mạch có cộng hưởng:
[imath]\Leftrightarrow Z_L = Z_{C_0}[math]\Leftrightarrow wL = \frac{1}{wC_0}[/math]\Leftrightarrow w^2L = \frac{1}{C_0}[math]\Leftrightarrow \frac{1}{C_0} = \frac{C_1 + C_2}{2C_1C_2}[/math]\Rightarrow C_0 = \frac{2C_1C_2}{C_1 + C_2}[/imath]
Khi [imath]C = C_0[/imath], trong mạch có cộng hưởng:
[imath]\Leftrightarrow Z_L = Z_{C_0}[math]\Leftrightarrow wL = \frac{1}{wC_0}[/math]\Leftrightarrow w^2L = \frac{1}{C_0}[math]\Leftrightarrow \frac{1}{C_0} = \frac{C_1 + C_2}{2C_1C_2}[/math]\Rightarrow C_0 = \frac{2C_1C_2}{C_1 + C_2}[/imath]
5. Mạch R-r-L-C có [imath]\omega[/imath] thay đổi, U là hằng số. Khi chỉnh [imath]\omega =\omega_1[/imath] và [imath]\omega= \omega_2=i\omega_1[/imath] thì mạch tiệu thụ cùng hệ số công suất là [imath]\cos \varphi _2=\cos \varphi _1[/imath] với [imath]L=nCR^2[/imath] và [imath]r=kR[/imath]
Từ đề ta có
[imath]\cos \varphi _2=\cos \varphi _1[/imath] [imath]\Rightarrow |Z_{L_1}+Z_{C_1}|=|Z_{L_2}-Z_{C_2}|(*)\Leftrightarrow[/imath] [imath]LC=\frac{1}{\omega _1\omega _2}[/imath] (1)
Từ (1)[imath]\Rightarrow L_{\omega_1}=\frac{1}{C_{\omega_2}}\Leftrightarrow Z_{L_1}=Z_{C_2}\Rightarrow Z_{L2}=Z_{C1}[/imath] do (*)
Lúc này ta xét
[imath]\tan \varphi _1=\frac{Z_{L1}-Z_{C1}}{R+r}=\frac{Z_{L_1}-Z_{L_2}}{R+r}=\frac{L(\omega _1-\omega _2)}{R(1+k)}=\frac{LC(\omega _1-\omega _2)}{CR(k+1)}[/imath]
[imath]\Rightarrow \tan ^2\varphi _1=(\frac{LC(\omega_1 -\omega _2)}{CR(k+1)})^2=\frac{(LC)^2(\omega_1 -\omega _2)^2}{C.CR^2(k+1)^2}=\frac{n(LC)^2(\omega_1 -\omega _2)^2}{LC(k+1)^2}[/imath] (Vì [imath]L=nCR^2\Rightarrow CR^2=\frac{L}{n}[/imath])
[imath]\Rightarrow \tan^2\varphi _1=\frac{n}{(k+1)^2}LC(\omega _1-\omega _2)^2=\frac{n}{(k+1)^2}.\frac{1}{\omega _1\omega _2}(\omega _1^2-2\omega _1\omega_2+\omega _2^2 )=\frac{n}{(k+1)^2}(\frac{\omega _1}{\omega _2}-2+\frac{\omega _2}{\omega _1})=\frac{n}{(k+1)^2}(\sqrt{\frac{\omega _1}{\omega _2}}-\sqrt{\frac{\omega _2}{\omega _1}})^2=\frac{n}{(k+1)^2}(\frac{1}{\sqrt{i}}-\sqrt{i})^2[/imath]
[imath]\Rightarrow \tan ^2\varphi _1=(\frac{LC(\omega_1 -\omega _2)}{CR(k+1)})^2=\frac{(LC)^2(\omega_1 -\omega _2)^2}{C.CR^2(k+1)^2}=\frac{n(LC)^2(\omega_1 -\omega _2)^2}{LC(k+1)^2}[/imath] (Vì [imath]L=nCR^2\Rightarrow CR^2=\frac{L}{n}[/imath])
[imath]\Rightarrow \tan^2\varphi _1=\frac{n}{(k+1)^2}LC(\omega _1-\omega _2)^2=\frac{n}{(k+1)^2}.\frac{1}{\omega _1\omega _2}(\omega _1^2-2\omega _1\omega_2+\omega _2^2 )=\frac{n}{(k+1)^2}(\frac{\omega _1}{\omega _2}-2+\frac{\omega _2}{\omega _1})=\frac{n}{(k+1)^2}(\sqrt{\frac{\omega _1}{\omega _2}}-\sqrt{\frac{\omega _2}{\omega _1}})^2=\frac{n}{(k+1)^2}(\frac{1}{\sqrt{i}}-\sqrt{i})^2[/imath]
[imath]\tan\varphi _1=\frac{\sqrt{n}}{k+1}|\frac{1}{\sqrt{i}-\sqrt{i}}|[/imath]
từ tỷ lệ giữa [imath]\omega _1[/imath] và [imath]\omega _2[/imath] ta dễ dàng tính ra [imath]\tan \omega _1[/imath]rồi dùng máy tính ra [imath]\cos \omega _1[/imath] hoặc có thể áp dụng công thức [imath]1+\tan ^2\varphi = |\frac{1}{\cos ^2\varphi }|[/imath]
6.Khảo sát [imath]U_C[/imath] theo [imath]ω^2[/imath]
- Khi [imath]ω^2=0[/imath] thì [imath]Z_C=∞=Z_{AB}[/imath] và [imath]U_C = U_{AB}[/imath]
- Khi [imath]ω^2=[/imath][imath]ω^2_2[/imath] thì [imath]U_{C_{max}}[/imath]
- Khi [imath]ω^2=∞[/imath], [imath]I=0[/imath],[imath]U_C=0[/imath]
View attachment 187796
Đồ thị của Uc cắt đường nằm ngang UAB tại hai giá trị của [imath]ω[/imath] là 0 và[imath]ω^2_{C^*}[/imath]. Áp dụng công thức bảng tên ta tính được:
[imath]\omega ^3_C*=2\omega ^2_C=\omega _C.\sqrt{2}[/imath] . Nghĩa là, giá trị của ω để UC = UAB lớn hơn giá trị của ω để UC cực đại [imath]\sqrt{2}[/imath] lần.
Tương tự với UL theo [imath]ω^2[/imath] thì nếu chỉnh [imath]ω\rightarrow U_L=U\Rightarrow[/imath] [imath]\omega = \frac{\omega_L}{\sqrt{2}}[/imath] với [imath]\omega _L[/imath] chỉnh [imath]U_{max}[/imath].
Đồ thị của Uc cắt đường nằm ngang UAB tại hai giá trị của [imath]ω[/imath] là 0 và[imath]ω^2_{C^*}[/imath]. Áp dụng công thức bảng tên ta tính được:
[imath]\omega ^3_C*=2\omega ^2_C=\omega _C.\sqrt{2}[/imath] . Nghĩa là, giá trị của ω để UC = UAB lớn hơn giá trị của ω để UC cực đại [imath]\sqrt{2}[/imath] lần.
Tương tự với UL theo [imath]ω^2[/imath] thì nếu chỉnh [imath]ω\rightarrow U_L=U\Rightarrow[/imath] [imath]\omega = \frac{\omega_L}{\sqrt{2}}[/imath] với [imath]\omega _L[/imath] chỉnh [imath]U_{max}[/imath].
7.Mạch R-L-C có [imath]u=U\sqrt{2}\cos2\pi ft[/imath](V) (U ko đổi,[imath]f[/imath] thay đổi và [imath]CR^2 < 2L[/imath]). Chỉnh [imath]f= f_c[/imath]
Chứng minh.
a) [imath]\omega ^{2}_{C} = \frac {2LC-R^2C^2}{2L^2C^2}[/imath] và [imath]\tan \omega _{RL}.\tan \phi =\frac{-1}{2} \Rightarrow Z^2_C=Z^2+Z^2_L[/imath].
b) [imath]\omega _L^2 = \frac{2}{aLC-R^2C^2}[/imath] và [imath]\omega _R^2 =\frac{1}{LC}[/imath](cộng hưởng)[imath]\Rightarrow U_{Cmax}=\frac{U}{\sqrt{1-(\frac{f_C}{f_L})^2}}[/imath]
c) [imath]\cos \varphi _C=\sqrt{ \frac{2f_c}{f_L+f_c}}[/imath] và khi chỉnh [imath]f=f_c[/imath] được [imath]U_{C1}=U\Rightarrow f_1=f_C\sqrt{2}[/imath]
Giải:
a,[imath]U_C=I.Z_{C}=\frac{U}{Z}\frac{1}{C\omega }=\frac{U}{C}\frac{1}{ \sqrt{\omega ^2\left [ R^2+(L \omega -\frac{1}{C\omega })^2 \right ]}}=\frac{U}{C}\frac{1}{\sqrt{L^2C^2 \omega ^4+(R^2C^2-2LC) \omega ^2+1}}[/imath]
Đặt [imath]M^2 = f(\omega ^2)= L^2C^2 \omega ^4+(R^2C^2-2LC)\omega ^2+1[/imath].
Đây là hàm số bậc 2 đạt cực tiểu tại [imath]x=\frac{-b}{2a}\Rightarrow M^2\rightarrow min\Leftrightarrow U_{Cmax}[/imath]
Vậy [imath]\omega _C^2=\frac{2LC-R^2C^2}{2L^2C^2}(đpcm)=\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2}\Rightarrow 1=\frac{1}{\omega _C^2}(\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2})=\frac{Z_C}{Z_L}-\frac{R^2}{2Z_L^2}[/imath]
[imath]\Rightarrow 2Z_L^2=2Z_L.Z_C\Rightarrow 2Z_L(Z_L-Z_C)=-R^2[/imath]
[imath]\Rightarrow \frac{Z_L}{R}.\frac{Z_L-Z_C}{R}=\frac{-1}{2}(*)[/imath]
[imath]\Rightarrow \tan \phi _{RL}.\tan\phi =\frac{-1}{2}(đpcm)[/imath]
Từ (*) [imath]\Rightarrow R^2=2Z_LZ_C-2Z_L^2[/imath]
Xét [imath]Z^2+Z_L^2=R^2+2Z_L^2-2Z_LZ_C+Z_C^2=Z_C^2=Z^2+Z_L^2(đpcm)[/imath]
b) từ a) ta có
[imath]Z_C^2=Z^2+Z_L^2\Leftrightarrow U_{Cmax}^2=U^2+U_L^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 1=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{U_L}{U_C})^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 1=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{Z_L}{Z_C})^2[/imath]
Tương tự khi chỉnh [imath]f=f_L\rightarrow U_{Lmax}\Rightarrow \omega ^2_L=\frac{2}{2LC-R^2C^2}[/imath] và [imath]\omega _R^2=\frac{1}{LC}[/imath](cộng hưởng)(tự CM)
[imath]=> \omega _L^2\omega ^2_C=\frac{1}{(LC)^2}= \omega ^4_R\Leftrightarrow f_R^2=f_Lf_C[/imath].Lại có [imath]\frac{Z_L}{Z_C}=LC\omega _C^2=\frac{\omega _C^2}{\omega _L\omega _C}=\frac{\omega _C}{\omega _L}=\frac{f_C}{f_L}[/imath]
Do đó: [imath]I=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{Z_L}{Z_C})^2=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{f_L}{f_C})^2\Rightarrow U_{Cmax}=\frac{U}{\sqrt{I-(\frac{f_L}{f_C})^2}}[/imath]
Ngoài ra nhờ:[imath]f_R^2=f_L.f_C\Rightarrow (\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{f_C}{f_R})^4=I[/imath] hay [imath](\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{f_R}{f_:L})^4=I[/imath].
Đặt [imath]M^2 = f(\omega ^2)= L^2C^2 \omega ^4+(R^2C^2-2LC)\omega ^2+1[/imath].
Đây là hàm số bậc 2 đạt cực tiểu tại [imath]x=\frac{-b}{2a}\Rightarrow M^2\rightarrow min\Leftrightarrow U_{Cmax}[/imath]
Vậy [imath]\omega _C^2=\frac{2LC-R^2C^2}{2L^2C^2}(đpcm)=\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2}\Rightarrow 1=\frac{1}{\omega _C^2}(\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2})=\frac{Z_C}{Z_L}-\frac{R^2}{2Z_L^2}[/imath]
[imath]\Rightarrow 2Z_L^2=2Z_L.Z_C\Rightarrow 2Z_L(Z_L-Z_C)=-R^2[/imath]
[imath]\Rightarrow \frac{Z_L}{R}.\frac{Z_L-Z_C}{R}=\frac{-1}{2}(*)[/imath]
[imath]\Rightarrow \tan \phi _{RL}.\tan\phi =\frac{-1}{2}(đpcm)[/imath]
Từ (*) [imath]\Rightarrow R^2=2Z_LZ_C-2Z_L^2[/imath]
Xét [imath]Z^2+Z_L^2=R^2+2Z_L^2-2Z_LZ_C+Z_C^2=Z_C^2=Z^2+Z_L^2(đpcm)[/imath]
b) từ a) ta có
[imath]Z_C^2=Z^2+Z_L^2\Leftrightarrow U_{Cmax}^2=U^2+U_L^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 1=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{U_L}{U_C})^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 1=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{Z_L}{Z_C})^2[/imath]
Tương tự khi chỉnh [imath]f=f_L\rightarrow U_{Lmax}\Rightarrow \omega ^2_L=\frac{2}{2LC-R^2C^2}[/imath] và [imath]\omega _R^2=\frac{1}{LC}[/imath](cộng hưởng)(tự CM)
[imath]=> \omega _L^2\omega ^2_C=\frac{1}{(LC)^2}= \omega ^4_R\Leftrightarrow f_R^2=f_Lf_C[/imath].Lại có [imath]\frac{Z_L}{Z_C}=LC\omega _C^2=\frac{\omega _C^2}{\omega _L\omega _C}=\frac{\omega _C}{\omega _L}=\frac{f_C}{f_L}[/imath]
Do đó: [imath]I=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{Z_L}{Z_C})^2=(\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{f_L}{f_C})^2\Rightarrow U_{Cmax}=\frac{U}{\sqrt{I-(\frac{f_L}{f_C})^2}}[/imath]
Ngoài ra nhờ:[imath]f_R^2=f_L.f_C\Rightarrow (\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{f_C}{f_R})^4=I[/imath] hay [imath](\frac{U}{U_{Cmax}})^2+(\frac{f_R}{f_:L})^4=I[/imath].
8.Cho mạch nối tiếp R-L-C có f thay đổi đc [imath](CR^2<2L)[/imath]. Lần lượt chỉnh [imath]f=f_C[/imath] và [imath]f=f_L[/imath] thì điện áp hiệu dụng 2 đầu tụ điện và cuộn cảm đạt max, hệ số công suất tương ứng là [imath]\cos \varphi _1[/imath] và [imath]\cos \varphi _2[/imath]
CMR [imath]\cos \varphi _1=\sqrt{\frac{2f_C}{f_L+f_C}}[/imath] và [imath]\cos \varphi _2=\sqrt{\frac{2f_L}{f_L+f_C}}[/imath]
Chỉnh thêm [imath]f_R[/imath] là tần số để [imath]U_{Rmax}[/imath](cộng hưởng) => [imath]f_R^2=f_Cf_L[/imath]
Khi đó giả sử [imath]Z_{L_{o}}=Z_{C_{o}}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} L\omega _R=1\\C\omega _R=1 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}L=\frac{1}{\omega _R}=\frac{1}{\sqrt{\omega _ C\omega _L}} \\ \frac{1}{C}=\omega _R=\sqrt{\omega _C\omega _L}\end{matrix}\right. Z_{L_{o}}=Z_{C_{o}}=1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} L\omega _R=1\\ C\omega _R=1 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}L=\frac{1}{\omega _R}=\frac{1}{\sqrt{\omega _ C\omega _L}} \\ \frac{1}{C}=\omega _R=\sqrt{\omega _C\omega _L}\end{matrix}\right.[/imath]
Khi [imath]f=f_C\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Z_{C1}=\frac{1}{C\omega _C}=\sqrt{\frac{f_L}{f_C}}\\ Z_{L1}=L\omega _C=\sqrt{\frac{f_c}{f_L}} \end{matrix}\right.(1)[/imath] và [imath]\frac{Z_{L1}}{R}\frac{Z_{L1}-C_{L1}}{R}=\frac{-1}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow R^2=2(1-\frac{f_c}{f_L})(2)[/imath]
..
Ta có
[imath]\cos ^2\varphi _1=\frac{1}{R^2+(Z_{L1}-Z_{C1})^2}\Rightarrow \cos ^2\varphi _1=\frac{2f_C}{f_C+f_L}(đpcm)[/imath]
từ đây ta có thể đặt [imath]f_C=nf_L[/imath] để rút gọn hơn nx
Khi đó giả sử [imath]Z_{L_{o}}=Z_{C_{o}}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} L\omega _R=1\\C\omega _R=1 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}L=\frac{1}{\omega _R}=\frac{1}{\sqrt{\omega _ C\omega _L}} \\ \frac{1}{C}=\omega _R=\sqrt{\omega _C\omega _L}\end{matrix}\right. Z_{L_{o}}=Z_{C_{o}}=1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} L\omega _R=1\\ C\omega _R=1 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}L=\frac{1}{\omega _R}=\frac{1}{\sqrt{\omega _ C\omega _L}} \\ \frac{1}{C}=\omega _R=\sqrt{\omega _C\omega _L}\end{matrix}\right.[/imath]
Khi [imath]f=f_C\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Z_{C1}=\frac{1}{C\omega _C}=\sqrt{\frac{f_L}{f_C}}\\ Z_{L1}=L\omega _C=\sqrt{\frac{f_c}{f_L}} \end{matrix}\right.(1)[/imath] và [imath]\frac{Z_{L1}}{R}\frac{Z_{L1}-C_{L1}}{R}=\frac{-1}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow R^2=2(1-\frac{f_c}{f_L})(2)[/imath]
..
Ta có
[imath]\cos ^2\varphi _1=\frac{1}{R^2+(Z_{L1}-Z_{C1})^2}\Rightarrow \cos ^2\varphi _1=\frac{2f_C}{f_C+f_L}(đpcm)[/imath]
từ đây ta có thể đặt [imath]f_C=nf_L[/imath] để rút gọn hơn nx
9. Mạch R-L-C có [imath]\omega[/imath] thay đổi. Chỉnh L để [imath]U_{RLmax}[/imath]ta được [imath]U_{RLmax}=\frac{U}{\tan\varphi _o}[/imath] với [imath]\tan\varphi _o=\frac{Z_L-Z_C}{R}[/imath].
[imath]U_{RL}=I\sqrt{Z_L^2+R^2}=\frac{U}{\sqrt{R^2+(Z_L-Z_C)^2}}\sqrt{Z_L^2+R^2}(*)[/imath]
Lượng giác hoá CT :[imath]\tan \varphi _o=\frac{Z_L-Z_C}{R}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Z_L-Z_C=R\tan \varphi _o\\ Z_L=R\tan \varphi _o+Z_C \end{matrix}\right.[/imath]
Do vậy (*) [imath]\Leftrightarrow U_{RL}=\frac{U}{R}\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2\varphi _o}}\sqrt{(R\tan \varphi _o +Z_C)^2+R^2 }=U.\sqrt{1+\frac{RZ_C\sin 2\varphi _o+Z_C^2\cos ^2\varphi _o}{R^2}}[/imath]
Xét hàm [imath]f(\varphi _o)=RZ_C\sin2\varphi _o+Z_C^2\cos ^2\varphi _o[/imath] và [imath]f'(\varphi _o)=2RZ_C\cos2\varphi _o+Z_C^2\sin ^2\varphi _o[/imath]
[imath]f'(\varphi _o)=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \tan 2\varphi _o=\frac{2R}{Z_C}[/imath]
Mà [imath]\tan\varphi _o=\frac{Z_L-Z_C}{R}[/imath]
[imath]\Rightarrow \frac{Z_L}{R}-\tan \varphi _o=\frac{Z_C}{R}=\frac{2}{\tan2\varphi _o}[/imath] (Với [imath]\tan 2\varphi _o=\frac{2\tan\varphi _o}{1-\tan ^2\varphi _o})[/imath]
[imath]\frac{Z_L}{R}-\tan\varphi _o=\frac{1-\tan ^2\varphi _o}{\tan_o}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \frac{Z_L}{R}=\frac{1-\tan ^2\varphi _o}{\tan_o}+\tan\varphi _o =\frac{1}{\tan\varphi _o}[/imath]
[imath]\Rightarrow \tan\varphi _o=\frac{R}{Z_L}[/imath]
[imath]\Rightarrow Z_L=\frac{R}{\tan \varphi _o}[/imath]
Thay vào (*) ta có
[imath]U_{RLmax}=\frac{U}{R}\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2\varphi _o}}\sqrt{\frac{R^2}{\tan^2\varphi _o}+R^2}=\frac{U}{\tan \varphi _o}[/imath]
Lượng giác hoá CT :[imath]\tan \varphi _o=\frac{Z_L-Z_C}{R}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} Z_L-Z_C=R\tan \varphi _o\\ Z_L=R\tan \varphi _o+Z_C \end{matrix}\right.[/imath]
Do vậy (*) [imath]\Leftrightarrow U_{RL}=\frac{U}{R}\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2\varphi _o}}\sqrt{(R\tan \varphi _o +Z_C)^2+R^2 }=U.\sqrt{1+\frac{RZ_C\sin 2\varphi _o+Z_C^2\cos ^2\varphi _o}{R^2}}[/imath]
Xét hàm [imath]f(\varphi _o)=RZ_C\sin2\varphi _o+Z_C^2\cos ^2\varphi _o[/imath] và [imath]f'(\varphi _o)=2RZ_C\cos2\varphi _o+Z_C^2\sin ^2\varphi _o[/imath]
[imath]f'(\varphi _o)=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \tan 2\varphi _o=\frac{2R}{Z_C}[/imath]
Mà [imath]\tan\varphi _o=\frac{Z_L-Z_C}{R}[/imath]
[imath]\Rightarrow \frac{Z_L}{R}-\tan \varphi _o=\frac{Z_C}{R}=\frac{2}{\tan2\varphi _o}[/imath] (Với [imath]\tan 2\varphi _o=\frac{2\tan\varphi _o}{1-\tan ^2\varphi _o})[/imath]
[imath]\frac{Z_L}{R}-\tan\varphi _o=\frac{1-\tan ^2\varphi _o}{\tan_o}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \frac{Z_L}{R}=\frac{1-\tan ^2\varphi _o}{\tan_o}+\tan\varphi _o =\frac{1}{\tan\varphi _o}[/imath]
[imath]\Rightarrow \tan\varphi _o=\frac{R}{Z_L}[/imath]
[imath]\Rightarrow Z_L=\frac{R}{\tan \varphi _o}[/imath]
Thay vào (*) ta có
[imath]U_{RLmax}=\frac{U}{R}\frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2\varphi _o}}\sqrt{\frac{R^2}{\tan^2\varphi _o}+R^2}=\frac{U}{\tan \varphi _o}[/imath]
Mình sẽ up phần tổng hợp công thức sau nhé cảm ơn các bạn đã ghé thăm topic
Attachments
Last edited:
