Toán Cực trị diện tích

[Quân Nguyễn 209]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=2a, AB=a. Dựng hcn MNPQ sao cho P,Q thuộc BC,M thuộc AB và N thuộc AC. Tìm giá trị lớn nhất của S(MNPQ)
2.Cho tam giác ABC có BC=2a, đường cao AH. Gọi D,E là hình chiếu của H trên AC và AB. Tìm giá trị lớn nhất của S(ADHE)
@Nguyễn Xuân Hiếu @iceghost giúp vs

 

[iceghost]

1/ Kẻ đường cao $AH$. Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét cho $MQ \parallel AH$ và $MN \parallel BC$, kết hợp bđt AM-GM ta có $$1 = \dfrac{AM}{AB} + \dfrac{BM}{BA} = \dfrac{MN}{BC} + \dfrac{MQ}{AH} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{MN}{BC} \cdot \dfrac{MQ}{AH}}$$
Suy ra $S_{MNPQ} = MN \cdot MQ \leqslant \dfrac{BC \cdot AH}4 = \dfrac{\sqrt{3}a^2}4$
Bạn tự tìm vị trí của $M$ khi dấu '=' xảy ra nhé

2/ Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ mới đúng chứ nhỉ?
Áp dụng htl vào các tam giác vuông $AHB$, $AHC$ và $ABC$ ta có $$AH^2 = AD \cdot AC ; AH^2 = AE \cdot AB ; AB \cdot AC = AH \cdot BC$$
Suy ra $AH^4 = AD \cdot AC \cdot AE \cdot AB = AD \cdot AE \cdot AH \cdot BC$ hay $AD \cdot AE = \dfrac{AH^3}{BC}$
Áp dụng htl và định lý Pytago trong tam giác vuông $ABC$ kết hợp bđt AM-GM ta có $$AH \cdot BC = AB \cdot AC \leqslant \dfrac{AB^2+AC^2}2 = \dfrac{BC^2}2$$
Suy ra $AH \leqslant \dfrac{BC}2 = a$
Khi đó $S_{ADHE} = AD \cdot AE = \dfrac{AH^3}{BC} \leqslant \dfrac{a^3}{2a} = \dfrac{a^2}2$
Dấu '=' xảy ra khi $\triangle{ABC}$ vuông cân tại $A$