Có: $x^3+y^3-6y^2+13y+x=10$
\Leftrightarrow $x^3+(y-2)^3+x+(y-2)=0$
\Leftrightarrow $(x+y-2)\left[(x+y)^2-x(y-2)+(y-2)^2+1\right]=0$
\Leftrightarrow $x+y-2=0$
\Leftrightarrow $x+y=2$
Ta có:
$P=x^4+y^4+(2x^2+5y)(2y^2+5x)+47xy+2012$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+10(x^3+y^3)+4x^2y^2+25xy+47xy+2012$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+10(x+y)(x^2-xy+y^2)+4x^2y^2+72xy+2012$
$=\left[(x+y)^2-2xy\right]^2+2x^2y^2+20\left[(x+y)^2-3xy\right]+72xy+2012$
$=(4-2xy)^2+2x^2y^2+20(4-3xy)+72xy+2012$
$=6x^2y^2-4xy+2028$
Ta có:
$P=6\left(xy-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{6082}{3})\ge \dfrac{6082}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=2 & \\ xy=\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.$.
Đến đây tự giải ra $x;y$
Ta sẽ chứng minh:
$P=6x^2y^2-4xy+2028\le 2030$
\Leftrightarrow $6x^2y^2-4xy-2\le 0$
\Leftrightarrow $(xy-1)(6xy+2)\le 0$
\Leftrightarrow $xy\le 1$ (Do $6xy+2> 0$)
BĐT đúng vì $xy\le \dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
"Bài dư thi event box toán 10"
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn