Cực trị đại số

[vinh_19]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm giá trị lớn nhất của:$\sqrt{\dfrac{ab}{ a+ b+\sqrt{ab}}} \ \ \ (a \not=- b,a \ge 0,b \ge 0$


Câu hỏi event

 

[vy000]

Để $\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+\sqrt{ab}}} \max $ thì $\dfrac{ab}{a+b+\sqrt{ab}} \max$

Dễ cm với a=0 hoặc b=0 thì $\dfrac{ab}{a+b+\sqrt{ab}}$ không thể đạt GTLN

Với $a,b \ne 0$

$\dfrac{ab}{a+b+\sqrt{ab}} \max$

$\Leftrightarrow \dfrac{a+b+\sqrt{ab}}{ab} \min$

$\Leftrightarrow \dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1{\sqrt{ab}} \min$
đặt $\dfrac 1a=x^2;\dfrac1b=y^2 (x,y>0)$

$\Rightarrow \dfrac{ab}{a+b+\sqrt{ab}} \max \Leftrightarrow x^2+y^2+xy \ \min$

Giả sử $x^2+y^2+xy \ \min$ với $x=x_1;y=y_1$

$\Rightarrow x^2+y^2+xy \ \min=x_1^2+y_1^2+x_1y_1$

Tuy nhiên với $x=x_1-m;y=y_1-m \ \ (m<x;y)$ thì $x^2+y^2+xy = (x_1-m)^2+(y_1-m)^2+(x_1-m)(y_1-m) < \min(x^2+y^2+xy)$

Do đó đề sai