Cực trị của một biểu thức

[hthtb22]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y ,z là các số không âm thoả mãn x+y+z=1.
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A= xy+yz+zx-2xyz ./

 

[minhtuyb]

Mới làm được max:

SOLUION:
-Áp dụng BĐT Schur, ta có:
$$xyz\ge (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)\\ \Leftrightarrow xyz\ge (1-2x)(1-2y)(1-2z)\\ \Leftrightarrow xyz\ge -8xyz-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)+1\\ \Leftrightarrow 9xyz\ge 4(xy+yz+zx)-1 \\\Leftrightarrow -2xyz\le -\frac{8(xy+yz+zx)}{9} +\frac{2}{9}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ hoặc $x=0;y=z=\frac{1}{2}$ và các hoán vị.
Từ đây suy ra:
$$P\le xy+yz+zx-\frac{8(xy+yz+zx)}{9} +\frac{2}{9}= \frac{xy+yz+zx+2}{9}\\ \le^{AM-GM} \frac{\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+2}{9}=\frac{7}{27}\ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$
Vậy $maxP=\dfrac{7}{27}$ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$

 

[netarivar]

Câu này là đề thi $Olympic$ Toán Quốc Tế .
Giải như sau:
Ta có thể giả sử: $x$\geq$y$\geq$z$\geq$0$ và $x+y+z=1$ nên $x$\geq$\frac{1}{3}$\geq$z$\geq$0$.
Lúc đó:
* $xy+yz+zx-2xyz=xy(1-z)+yz(1-x)+zx$\geq$0$
* $4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$\leq$(x+y)^2=(1-z)^2$
\Rightarrow $xy+yz+zx-2xyz=z(x+y)+xy(1-2z)$\leq$z(1-z)+\frac{1}{4}(1-z)^2(1-2z)$\leq$\frac{1}{4}(1+z^2-2z^3)$\leq$\frac{7}{27}-\frac{1}{4}(z-\frac{1}{3})^2(2z+\frac{1}{3})$\leq$\frac{7}{27}$.
___
Cách khác tìm $Max$ của bài này:
Ta có bất đẳng thức phụ (xem ở đây)
Áp dụng bất đẳng thức phụ và bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$xyz$\geq$(1-2x)(1-2y)(1-2z)$
\Rightarrow $xyz$\geq$1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz$
\Rightarrow $xyz$\geq$-1+4(xy+yz+zx)-8xyz$
\Rightarrow $xy+yz+zx-2xyz$\leq$\frac{1}{4}+\frac{xyz}{4}$
và $xyz$\leq$\frac{1}{27}(x+y+z)^3=\frac{1}{27}$ (bất đẳng thức $AM-GM$)
Vậy $xy+yz+zx-2xyz$\leq$\frac{7}{27}$
$$L$$

 

[bboy114crew]

Bài này là đề thi IMO năm nào đó :d!
..............................................................