Toán 12 [Cực trị 12] Tích phân

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n >1$ thì:
$$ \ln(n+1)< 1+ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n} $$

Bài này mới làm xong

Bài 2: Với $x\ne 0$. Chứng minh: $\text{e}^{x}>1+x$

 

[hthtb22]

Bài 1:
sử dụng bổ đề:
$ln(n+1)-ln n <\dfrac{1}{n} < ln(n)-ln(n+1)$

(Nhanh nhất là dùng định lí Lagrange)

Cộng vế là ra

Bài 2;
Xét $f(x)=e^x-x-1$
$f'(x)=e^x-1$

Bảng biến thiên suy ra $f(x) \ge f(0)=0$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
sử dụng bổ đề:
$ln(n+1)-ln n <\dfrac{1}{n} < ln(n)-ln(n+1)$

(Nhanh nhất là dùng định lí Lagrange)

Cộng vế là ra

Bài 2;
Xét $f(x)=e^x-x-1$
$f'(x)=e^x-1$

Bảng biến thiên suy ra $f(x) \ge f(0)=0$

Anh có cách nào dùng tích phân không.

 

[thaygiaotoanhoc]

Thấy rằng $\ln (x+1)$ là diện tích giới bị giới hạn của $y=\dfrac{1}{x}$ và $Ox$ từ $1$ đến $x+1$
Ngoài ra $y=\dfrac{1}{x}$ là hàm lồi trên $[1, n+1]$ nên tổng tích phân $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ sẽ lớn hơn diện tích bị giới hạn là $\ln (n+1)$ và đây là điều cần chứng minh.