côssi ngc dấu hoặc đánh giá điểm biên

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho a,b,c,d >0 và a+b+c+d =1
cmr : [TEX]\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1} \leq 4\sqrt{2}[/TEX]
2)cmr [TEX]\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} \leq 3[/TEX]
4. cho x,y >0 và x+y=1
cmr [TEX]\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}} \geq 2[/TEX]

 

[congchuaanhsang]

1) cho a,b,c,d >0 và a+b+c+d =1
cmr : [TEX]\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1} \leq 4\sqrt{2}[/TEX]

Bunyakovsky:

$(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1})^2 \le 4[4(a+b+c+d)+4]$

\Leftrightarrow $(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1})^2 \le 32$

\Leftrightarrow $\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4d+1} \le 4\sqrt{2}$

P.s: Cũng có thể tách rồi Cauchy nhưng thích Buny hơn :v

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 2:

Theo bđt Cauchy-Schwarz có $(\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x})^2 \le 3(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})(1)$

Và $(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})^2 \le 3(1-x^2+1-x+1+x) \\ \Longleftrightarrow (\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})^2 \le 9-3x^2 \le 9 \\ \Longleftrightarrow \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \le 3$

Từ $(1) \to (\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x})^2 \le 9$

$\Longleftrightarrow \sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x} \le 3$. Đẳng thức xảy ra khi x=0

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: $\sqrt{4x+1} \le \sqrt{2}x+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

$\leftrightarrow 4x+1 \le 2x^2+3x+\dfrac{9}{8}$

$\leftrightarrow 2(x-\dfrac{1}{4})^2 \ge 0$

Suy ra $VT \le \sqrt{2}(a+b+c+d)+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Bài 2: Cách khác.

Đặt $a=\sqrt[4]{1-x}; b=\sqrt[4]{1+x}$

Điều kiện: $a^2+b^2=2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} \rightarrow a+b\le 2$

$VT=ab+a+b \le \dfrac{(a+b)^2}{4}+(a+b)\le 3$

Hoặc có thể làm như thế này (cho cấp 3):

$L=ab+a+b-\lambda (a^2+b^2-2)$

$\dfrac{dL}{da}=b+1-2\lambda a = 0$

$\dfrac{dL}{db}=a+1-2\lambda b = 0$

Ta có điểm dừng $(a;b;\lambda)=(1;1;1)$

$L''_{aa}=L''_{bb}=-2\lambda < 0$
$L''_{ab}=L''_{ba}=1$

Suy ra $\text{max}$ đạt được khi $a=b=1$

Bài 3:

Đề phải là $\sqrt{2}$

$VT \ge \sqrt{x}+\sqrt{y} \ge \dfrac{\sqrt{x+y}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$ (Holder)