Toán 9 côsi ngược dấu

[taek123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a;b;c>0 và a+b+c=3.Chứng minh
$A= \frac{a+b}{1+a}$+ \frac{b+c}{1+b}$ + \frac{c+a}{1+c}$ >= ab+bc+ca

 

[7 1 2 5]

Ta có:[tex]\frac{a+b}{a+1}=\frac{(a+b)(a+1-a)}{a+1}=\frac{(a+b)(a+1)-a(a+b)}{a+1}=a+b-\frac{a(a+b)}{a+1}[/tex]
Lại có:[tex]\frac{1}{a+1}\leq \frac{a+1}{4a}\Rightarrow \frac{a+b}{a+1}\geq a+b-\frac{(a+b)(a+1)}{4}=\frac{4a+4b-a^2-ab-a-b}{4}=\frac{3(a+b)-a(a+b)}{4}=\frac{3}{4}(a+b)-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}ab[/tex]
[tex]\Rightarrow VT\geq \frac{3}{2}(a+b+c)-\frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{2}-\frac{1}{4}[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{2}-\frac{1}{4}.9+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}(ab+bc+ca)[/tex]
Mà[tex](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{9}{4}\geq \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\Rightarrow VT\geq \frac{3}{4}(ab+bc+ca)+\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=ab+bc+ca[/tex]

 

[ankhongu]

Ta có:[tex]\frac{a+b}{a+1}=\frac{(a+b)(a+1-1)}{a+1}=\frac{(a+b)(a+1)-a(a+b)}{a+1}=a+b-\frac{a(a+b)}{a+1}[/tex]
Lại có:[tex]\frac{1}{a+1}\leq \frac{a+1}{4a}\Rightarrow \frac{a+b}{a+1}\geq a+b-\frac{(a+b)(a+1)}{4}=\frac{4a+4b-a^2-ab-a-b}{4}=\frac{3(a+b)-a(a+b)}{4}=\frac{3}{4}(a+b)-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}ab[/tex]
[tex]\Rightarrow VT\geq \frac{3}{2}(a+b+c)-\frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{2}-\frac{1}{4}[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{2}-\frac{1}{4}.9+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}(ab+bc+ca)[/tex]
Mà[tex](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{9}{4}\geq \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\Rightarrow VP\geq \frac{3}{4}(ab+bc+ca)+\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=ab+bc+ca[/tex]

Bạn gõ nhầm kìa : (a + b)(a + 1 - 1) --> (a + b)(a + 1 - a) chứ
với cả ở cuối thì là VT chứ không phải VP

 

[taek123]

Ta có:[tex]\frac{a+b}{a+1}=\frac{(a+b)(a+1-a)}{a+1}=\frac{(a+b)(a+1)-a(a+b)}{a+1}=a+b-\frac{a(a+b)}{a+1}[/tex]
Lại có:[tex]\frac{1}{a+1}\leq \frac{a+1}{4a}\Rightarrow \frac{a+b}{a+1}\geq a+b-\frac{(a+b)(a+1)}{4}=\frac{4a+4b-a^2-ab-a-b}{4}=\frac{3(a+b)-a(a+b)}{4}=\frac{3}{4}(a+b)-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}ab[/tex]
[tex]\Rightarrow VT\geq \frac{3}{2}(a+b+c)-\frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{2}-\frac{1}{4}[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{2}-\frac{1}{4}.9+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)-\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}(ab+bc+ca)[/tex]
Mà[tex](a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow 9\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow \frac{9}{4}\geq \frac{3}{4}(ab+bc+ca)\Rightarrow VT\geq \frac{3}{4}(ab+bc+ca)+\frac{1}{4}(ab+bc+ca)=ab+bc+ca[/tex]

bạn ơi làm sao có thể nghĩ ra được bất đẳng thức này để áp dụng cho bài toán vậy "Lại có:[tex]\frac{1}{a+1}\leq \frac{a+1}{4a}"[/tex]

 

[7 1 2 5]

bạn ơi làm sao có thể nghĩ ra được bất đẳng thức này để áp dụng cho bài toán vậy "Lại có:[tex]\frac{1}{a+1}\leq \frac{a+1}{4a}"[/tex]

Kinh nghiệm cả thôi bạn ạ

 

[ankhongu]

Kinh nghiệm cả thôi bạn ạ

Bạn học toán 9 từ năm lớp 7 hay sao mà kinh nghiệm nhiều thế ?

 

[7 1 2 5]

Bạn học toán 9 từ năm lớp 7 hay sao mà kinh nghiệm nhiều thế ?

Một năm học ở đội tuyển thì nhiều bài BĐT. Với lại, BĐT trải dài cả lớp 7 và 8 nữa mà..

 

[mỳ gói]

bạn ơi làm sao có thể nghĩ ra được bất đẳng thức này để áp dụng cho bài toán vậy "Lại có:[tex]\frac{1}{a+1}\leq \frac{a+1}{4a}"[/tex]

Bạn học toán 9 từ năm lớp 7 hay sao mà kinh nghiệm nhiều thế ?

Cái đó là bđt CS cơ bản mà.

 

[taek123]

Kinh nghiệm cả thôi bạn ạ

Mình có thể học thêm bất đẳng thức phụ ở đâu vậy bạn? Cảm ơn bạn.

 

[taek123]

Cái đó là bđt CS cơ bản mà.

uk, nhưng khó nhìn và nhận ra trong bài bất đẳng thức trên

 

[7 1 2 5]

Tùy từng bài bạn ạ. Vài bài thì thêm bớt để khử mẫu, có bài thì có BĐT phụ. BĐT phụ thì bạn nên xem phương pháp U.C.T nếu BĐT đó đối xứng.