Toán 10 $\cos\dfrac{x}2\cos\dfrac{x}{2^2}\ldots\cos\dfrac{x}{2^n}=\dfrac{\sin x}{2^n\sin\dfrac{x}{2^n}}$

[mculousdia287@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]cos \frac{x}{2}cos\frac{x}{2^{2}}...cos\frac{x}{2^{n}}= \frac{sinx}{2^{n}sin\frac{x}{2^{n}}}[/tex]

 

[iceghost]

$n = 1$ thì công thức hiển nhiên đúng. Giả sử công thức đúng với $n = k$, ta chứng minh nó đúng với $n = k+1$
Ta có $\cos \dfrac{x}2 \cos \dfrac{x}{2^2} \ldots \cos \dfrac{x}{2^k} = \dfrac{\sin x}{2^k \sin \dfrac{x}{2^k}}$
$\implies \cos \dfrac{x}2 \cos \dfrac{x}{2^2} \ldots \cos \dfrac{x}{2^k} \cdot \cos \dfrac{x}{2^{k+1}} = \dfrac{\sin x \cos \dfrac{x}{2^{k+1}}}{2^k \sin \dfrac{x}{2^k}} = \dfrac{\sin x \cos \dfrac{x}{2^{k+1}}}{2^k \cdot 2 \sin \dfrac{x}{2^{k+1}} \cos \dfrac{x}{2^{k+1}}} = \dfrac{\sin x}{2^{k+1} \sin \dfrac{x}{2^{k+1}}}$
Vậy $n = 1$ đúng thì $n = 2$ cũng đúng, dẫn tới $n = 3, 4, \ldots$ cũng đúng nên công thức đúng với mọi $n$