Công thức tổng quát ?

M

mathematician_287

Đăt A=1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)
=> 3A= 1.2.3+2.3.3+...+3.n.(n+1)
Đặt B=1.2.3+2.3.4+...+n(n+1)(n+2)
Ta có B-3A= 1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)
=> B-3A=B-n(n+1)(n+2)
=> A=1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

Tương Tự nhân với 4 của đẳng thức
=> 1.2.3+2.3.4...+ n.(n+1).(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4
 
Last edited by a moderator:
C

chuyengiatoanhoc

cách tính tổng quát.

cảm ơn bạn đã cho ý kiến,mình sẽ sơ lược bài toán tổng quát cho dạng này như sau:
giả sử f(x) là đa thức có bậc n. xét đẳng thức :
g(x)=f(x) - f(x-1). (1)
nhận xét rằng:
+g(x) có bậc n-1.
+khi thay x lần lượt bằng 1,2,3...,n vào (1) rồi cộng lại , ta được:
g(1)+g(2)+.....+g(n)=f(n)-f(0). (2)
từ đó xuất phát từ bài toán tính tổng n số tự nhiên nào đó ta sẽ thực hiện theo các bước:
b1:lựa chọn 1 hàm số f(x) có bậc k.
b2:xác định hàm số f(x) có bậc k+1 thoả mãn:
f(x)-f(x-1)=g(x)
b3: suy ra tổng n số tự nhiên dựa trên (2).
VD bà toán sau:tính tổng:s=1+2+....+n=?
giải mẫu:chọn hs:g(x)=x
ta đi xác định hs f(x) bậc 2 dạng f(x)=ax^2+bx+c thoả mãn:
f(x)-f(x-1)=g(x)
<=>2ax-a+b=x ==>a=b=1/2 và c tuỳ ý.
khi đó s=1+2+...+n= g(1)+g(2)+....+g(n)=f(n)-f(0)=n^2/2+n/2=n(n+1)/2.xong nhá!!!
còn 2 bài em đưa gia cũng được giải tương tự thôi...
trước tiên các anh chị hãy chọn hs g(x)=x^4
rồi xác định hs f(x) bậc 5 dạng ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+m thoả mãn
f(x)-f(x-1)=g(x) ====> tìm được a,b,c,d,e=....... và số m luôn tuỳ ý....
từ đây ===> được kết quả của bài toán......
(nếu thấy em làm sai chỗ nào thì hãy liên hệ theo nick name :anhlabuilinh nhé!
 
C

chuyengiatoanhoc

tổng quát

cảm ơn bạn đã cho ý kiến, mình sẽ sơ lược bài toán tổng quát cho dang này như sau:
giả sử f(x) là đa thức có bậc n. xét đẳng thức :
g(x)=f(x) - f(x-1). (1)
nhận xét rằng:
+g(x) có bậc n-1.
+khi thay x lần lượt bằng 1,2,3...,n vào (1) rồi cộng lại , ta được:
g(1)+g(2)+.....+g(n)=f(n)-f(0). (2)
từ đó xuất phát từ bài toán tính tổng n số tự nhiên nào đó ta sẽ thực hiện theo các bước:
b1:lựa chọn 1 hàm số f(x) có bậc k.
b2:xác định hàm số f(x) có bậc k+1 thoả mãn:
f(x)-f(x-1)=g(x)
b3: suy ra tổng n số tự nhiên dựa trên (2).
VD bà toán sau:tính tổng:s=1+2+....+n=?
giải mẫu:chọn hs:g(x)=x
ta đi xác định hs f(x) bậc 2 dạng f(x)=ax^2+bx+c thoả mãn:
f(x)-f(x-1)=g(x)
<=>2ax-a+b=x ==>a=b=1/2 và c tuỳ ý.
khi đó s=1+2+...+n= g(1)+g(2)+....+g(n)=f(n)-f(0)=n^2/2+n/2=n(n+1)/2.xong nhá!!!
còn 2 bài bạn đưa gia cũng được giải tương tự thôi...
trước tiên các anh chị hãy chọn hs g(x)=x(x+1)
rồi xác định hs f(x) bậc 3 dạng ax^3+bx^2+cx+d thoả mãn
f(x)-f(x-1)=g(x) ====> tìm được a,b,c,=....... và số d luôn tuỳ ý....
từ đây ===> được kết quả của bài toán......
 
D

dante547

Ý tưởng rất tốt ^^
Từ đây là cơ sở để các bạn tính tiếp các tổng dạng như :
S1 = 1^2 + 2^2 + .... n^2
S2 = 1^3 + 2^3 + .... n^3

At least give it a try :) Những kết quả mà các bạn tự tìm ra, sẽ khắc sâu hơn là những gì chúng ta đọc từ lời giải có sẵn :x

Và các bạn thử nghĩ xem, cách này có còn đúng với các tổng gồm nhiều PHÂN THỨC HỮU TỈ nữa không?
Mình Ví dụ tổng này chẳng hạn nhé:

S3 = 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/[n x (n+1) x (n+2)] (ở trên tử của mỗi số hạng là 1, ở dưới mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp)
Mong chờ một kết quả tổng quát nhất, đẹp nhất của các bạn :)
 
Last edited by a moderator:
D

duynhan1

dante547 said:
Và các bạn thử nghĩ xem, cách này có còn đúng với các tổng gồm nhiều PHÂN THỨC HỮU TỈ nữa không?
Mình Ví dụ tổng này chẳng hạn nhé:

S3 = 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/[n x (n+1) x (n+2)] (ở trên tử của mỗi số hạng là 1, ở dưới mẫu là tích 3 số tự nhiên liên tiếp)
Mong chờ một kết quả tổng quát nhất, đẹp nhất của các bạn :)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có nhận xét sau :
[TEX]\frac{1}{k.(k+1)(k+2) } =\frac12( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} ) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow S = \frac12 ( \frac{1}{1.2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )[/TEX]


[TEX]S_1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ S_2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/TEX]

Đây là các kết quả rất quen thuộc.


Cách làm nhanh nhất cho dạng này:
Dạng :
[TEX]u_n = u_{n-1} + f(n)[/TEX]

Giả sử f(n) là đa thức bậc k

[TEX]u_n = g(n) [/TEX] với g(n) là đa thức bậc k+1.
Thế k+2 giá trị ban đầu của dãy, ta tìm được g(n)
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom