B
braga
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đây là 1 chuyên đề khá hay, tôi nghĩ cấp THCS thì nên áp dụng nhiều cái này để giải các bài toán bất đẳng thức, vì THCS phần bát đẳng đang còn khá đơn giản, mình nên làm bằng nhưng kiến thức cơ bản mà đã học, chứ không phải áp dụng các bất đẳng thức có sẵn, làm như thế sẽ dễ bị trừ điểm , ý tưởng này từ thầy giáo dạy tôi và 1 bài đăng trên báo toán học tuổi trẻ 
A. Thiết lập các bất đẳng thức từ hằng dẳng thức:
Tôi đã tự thiết lập và tổng hợp được 1 số bất đẳng thức như sau.
I. Từ hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Ta có các hệ quả sau:
1. $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\ge 2ab$
2. $2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2\ge (a+b)^2$
3. $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2\le (a+b)^2$
4. $m(a^2+b^2)+nab=\dfrac{2m+n}{4}(a+b)^2+\dfrac{2m-n}{4}(a-b)^2$
5. $(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bc)^2\ge (ax+by)^2$
6. $a,b>0: \ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}+\dfrac{4}{a+b}\ge \dfrac{4}{a+b}$
7. $a,b>0: \ \ \dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{(ay-bx)^2}{ab(a+b)}+\dfrac{(a+y)^2}{a+b}\ge \dfrac{(a+y)^2}{a+b}$
8. $a,b>0 : \ \ a^3+b^3=(a+b)(a-b)^2+ab(a+b)\ge ab(a+b)$
......
II. Từ hằng đẳng thức: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ và $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$
9. $\sum a^2=\dfrac{1}{2} \sum (a-b)^2+\sum ab\ge \sum ab$
10. $3\sum a^2=\sum (a-b)^2+(a+b+c)^2\ge (a+b+c)^2$
11. $(a+b+c)^2=\dfrac{1}{2}\sum (a-b)^2+3(ab+bc+ca)\ge 3(ab+bc+ca)$
12. $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$
13. $a,b,c\ge 0: \ \ a^3+b^3+c^3=\dfrac{1}{2}\sum a . \sum (a-b)^2+3ab\ge 3abc$
14. $a,b,c\ge 0: \ \ (a+b+c)(ab+bc+ca)=\sum a(b-c)^2 +9abc\ge 9abc$
15. $a,b,c>0: \ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}.\sum \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{9}{a+b+c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}$
16. $a,b,c>0: \ \ \dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}=\sum \dfrac{(ay-bx)^2}{ab(a+b+c)}+\dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
....................
Chú ý $\sum$ là tổng hoán vị. vd: $\sum a=a+b+c$
Và bây giờ là áp dụng chúng để giải 1 số bài bất đẳng thức
B. Vận dụng.
1. Chứng minh $\forall a,b>0$, ta có:
$$\sqrt[3]{2(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}\ge \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}$$
2. Chứng minh $a^3+b^3+c^3\ge \sum a\sqrt{b+c}$ với $a,b,c>0 \ va \ abc=2$
3. Chứng minh $ab+bc+ca\ge 9(a+b+c)$ với $a,b,c>\ge 0$ thỏa $a+b+c=\sqrt{abc}$
A. Thiết lập các bất đẳng thức từ hằng dẳng thức:
Tôi đã tự thiết lập và tổng hợp được 1 số bất đẳng thức như sau.
I. Từ hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Ta có các hệ quả sau:
1. $a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\ge 2ab$
2. $2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2\ge (a+b)^2$
3. $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2\le (a+b)^2$
4. $m(a^2+b^2)+nab=\dfrac{2m+n}{4}(a+b)^2+\dfrac{2m-n}{4}(a-b)^2$
5. $(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bc)^2\ge (ax+by)^2$
6. $a,b>0: \ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}+\dfrac{4}{a+b}\ge \dfrac{4}{a+b}$
7. $a,b>0: \ \ \dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{(ay-bx)^2}{ab(a+b)}+\dfrac{(a+y)^2}{a+b}\ge \dfrac{(a+y)^2}{a+b}$
8. $a,b>0 : \ \ a^3+b^3=(a+b)(a-b)^2+ab(a+b)\ge ab(a+b)$
......
II. Từ hằng đẳng thức: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ và $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$
9. $\sum a^2=\dfrac{1}{2} \sum (a-b)^2+\sum ab\ge \sum ab$
10. $3\sum a^2=\sum (a-b)^2+(a+b+c)^2\ge (a+b+c)^2$
11. $(a+b+c)^2=\dfrac{1}{2}\sum (a-b)^2+3(ab+bc+ca)\ge 3(ab+bc+ca)$
12. $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)$
13. $a,b,c\ge 0: \ \ a^3+b^3+c^3=\dfrac{1}{2}\sum a . \sum (a-b)^2+3ab\ge 3abc$
14. $a,b,c\ge 0: \ \ (a+b+c)(ab+bc+ca)=\sum a(b-c)^2 +9abc\ge 9abc$
15. $a,b,c>0: \ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}.\sum \dfrac{(a-b)^2}{ab}+\dfrac{9}{a+b+c}\ge \dfrac{9}{a+b+c}$
16. $a,b,c>0: \ \ \dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}=\sum \dfrac{(ay-bx)^2}{ab(a+b+c)}+\dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
....................
Chú ý $\sum$ là tổng hoán vị. vd: $\sum a=a+b+c$
Và bây giờ là áp dụng chúng để giải 1 số bài bất đẳng thức
B. Vận dụng.
1. Chứng minh $\forall a,b>0$, ta có:
$$\sqrt[3]{2(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}\ge \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}}$$
2. Chứng minh $a^3+b^3+c^3\ge \sum a\sqrt{b+c}$ với $a,b,c>0 \ va \ abc=2$
3. Chứng minh $ab+bc+ca\ge 9(a+b+c)$ với $a,b,c>\ge 0$ thỏa $a+b+c=\sqrt{abc}$
Last edited by a moderator: