$\color{Purple}{\fbox{Toán 11} \text{Dãy số}}$

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tình hình là mình đang học về dãy số và thấy phần này rất thú vị

Ừm, được rồi, hoặc là mình nghĩ thế

Dù sao thì dãy số cũng là một phần trong các đề thi hsg, và nó có khá nhiều dạng bài. Kiến thức của mình thì cũng hạn hẹp thôi ) Nên mình lập ra pic này nhằm để mọi người tao đổi kinh nghiệm, các cách giải hay và độc đáo. Hy vọng chúng ta sẽ học được nhiều dạng bài hơn, nhiều cách giải hơn về dãy số thông qua pic này

Mong mọi người và nhất là các anh chị tiền bối ủng hộ em

 

[congchuaanhsang]

Bắt đầu từ 1 bài đơn giản

Cho dãy {$u_n$} được xác định bởi $u_1=2$ và $u_n=\dfrac{u_{n-1}+1}{2}$ với $n \ge 2$

Cm $u_n=\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bắt đầu từ 1 bài đơn giản

Cho dãy {$u_n$} được xác định bởi $u_1=2$ và $u_n=\dfrac{u_{n-1}+1}{2}$ với $n \ge 2$

Cm $u_n=\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}$

Nghỉ Casio lâu quá nên cũng quên làm sai thông cảm

$u_n=u_1.(\dfrac{1}{2})^{n-1}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{(\dfrac{1}{2})^{n-1}-1}{\dfrac{1}{2}-1}=\dfrac{1}{2^{n-2}}+1-\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}$

Cách ít phải suy nghĩ nhất là làm theo quy nạp

 

[congchuaanhsang]

Mình đóng góp một cách giải khác

$u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}+\dfrac{1}{2}$

\Leftrightarrow $u_n-1=\dfrac{1}{2}(u_{n-1}-1)$

Đặt $u_n-1=v_n$ thì $v_1=1$

Ta có $v_n=\dfrac{1}{2}v_{n-1}$

\Rightarrow $v_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}$

\Leftrightarrow $u_n=\dfrac{2^{n-1}+1}{2^{n-1}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Mình thì xin trình bày tổng quát dạng này:

$\begin{cases}
x_1\\
x_{n+1}=ax_{n}+b\\
\end{cases}$

Ta sẽ tìm $\lambda$ nào đó sao cho

$x_{n+1}+\lambda = ax_{n}+a\lambda$

Suy ra $\lambda+b = a\lambda \leftrightarrow \lambda=\dfrac{b}{a-1}$

$x_{n+1}+\dfrac{b}{a-1}=a(x_{n}+\dfrac{b}{a-1})=...=a^n(x_{1}+\dfrac{b}{a-1})$

Hay $x_{n}=x_1.a^{n-1}+\dfrac{b.(a^{n-1}-1)}{a-1}$

Chưa gì đã đao to búa lớn )

 

[congchuaanhsang]

Mình thì xin trình bày tổng quát dạng này:

$\begin{cases}
x_1\\
x_{n+1}=ax_{n}+b\\
\end{cases}$

Ta sẽ tìm $\lambda$ nào đó sao cho

$x_{n+1}+\lambda = ax_{n}+a\lambda$

Suy ra $\lambda+b = a\lambda \leftrightarrow \lambda=\dfrac{b}{a-1}$

$x_{n+1}+\dfrac{b}{a-1}=a(x_{n}+\dfrac{b}{a-1})=...=a^n(x_{1}+\dfrac{b}{a-1})$

Hay $x_{n}=x_1.a^{n-1}+\dfrac{b.(a^{n-1}-1)}{a-1}$

Bạn thiếu 1 trường hợp

Với $a=1$ thì $x_n$ là một cấp số cộng, công sai $b$

\Rightarrow $x_n=x_1+(n-1)b$

 

[congchuaanhsang]

Với trường hợp $a$ khác $1$, ta có thể đặt $v_n=x_n+\dfrac{b}{a-1}$

Khi đó $v_n$ là một cấp số nhân, công bội a

\Rightarrow $v_n=v_1.a^{n-1}$

\Rightarrow $x_n=v_n-\dfrac{b}{a-1}$

 

[vuive_yeudoi]

Bài toán. Cho $ \displaystyle \{ a_n \}_{n \ge 1} $ là cấp số cộng với công sai $ \displaystyle d $ và $ \displaystyle \{ b_n \}_{n \ge 1} $ là cấp số nhân với công bội $ \displaystyle q $. Tính theo $ \displaystyle a_1 \ ; \ b_1 \ ; \ d \ ; \ q \ ; \ n $ giá trị của biểu thức
$$ Q= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i $$