$\color{blue}{\text{[Toán 9] Giải hệ, tìm GTNN.}}$

[trang.bui35]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Giải hệ sau:
$(x+y)(x^2-y^2)=45$
Và $(x-y)(x^2+y^2)=85$

2. Tìm GTNN:
$\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1: Chia 2 phương trình cho nhau.

Bài 2: Đề thiếu $x,y,z > 0$

$\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{(x+y+z)^3}{xyz} \ge 28$

$\leftrightarrow -\dfrac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}+\dfrac{(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+6(x+y)(y+z)(z+x)}{2xyz} \ge 24$

Áp dụng BDT Cauchy: $3(x+y)(y+z)(z+x) \ge 24xyz$

Vì vậy ta chỉ cần chứng minh:

$$ \left [\dfrac{x+y+z}{2xyz}-\dfrac{1}{2(x^2+y^2+z^2)} \right] [(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \ge 0 $$

$\leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \ge xyz$

Điều này luôn đúng do $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \ge 9xyz > xyz$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$