$\color{Blue}{\fbox{Toán 8} \text{Kỹ năng chứng minh bất đẳng thức}}$

C

congchuaanhsang

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Phần đông các em đến lớp 8 bắt đầu làm quen với bất đẳng thức. Đây là một mảng kiến thức rất rộng và hay trong Toán học. Bản thân chị khi mới bắt đầu vào phần này cũng gặp khó khăn không ít:(

Cho nên hôm nay chị lập ra topic này để giúp các em làm quen với bất đẳng thức một cách dễ dàng hơn, và để không còn bỡ ngỡ nữa khi gặp lại phần này trong các kì thi sau :D

Chị sẽ đưa ra các kiến thức cơ bản trước. Sau đó là phần bài tập áp dụng sẽ post theo từng dạng một. Mong rằng các em tích cực ủng hộ topic này. :D

Em nào có câu nào cần hỏi hay pm tin nhắn riêng cho chị trước (Nếu nằm trong dạng mà topic đang thảo luận thì hãy post lên luôn). Chị sẽ cố gắng tìm lời giải và trả lời cho các em. Khi nào đến dạng mà đề bài của các em nói tới chị sẽ post lên.

Chị mong rằng các cựu mod Toán cũng như là các mod Toán hiện nay ai có hứng thú về phần bất đẳng thức hãy vào pic này :D. Chú ý rằng các em mới chỉ đang học bước đầu, cho nên không nên dùng những cách khó hiểu quá.

Cảm ơn tất cả các em :)

Liên hệ với chị qua sđt 01643478687 hoặc facebook Anh Đỗ Thùy
 
C

congchuaanhsang

Chúng ta sẽ bắt đầu từ các bất đẳng thức cơ bản:

1, |A| \geq 0 với mọi A. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $A=0$

2, $a^2 \ge 0$ với mọi a. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=0$

3, $|a|+|b| \ge |a+b|$ với mọi a,b. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $ab \ge 0$



 
C

congchuaanhsang

Bài tập áp dụng:

1, Chứng minh: $(a+b)^2 \ge 4ab$

2, Giải phương trình

$x^5-5x^4+6x^3+10x^2-21x-27=0$

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức $a^2 \ge 0$


3, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A= |x-1| + |3-x|$ với $x \in R$
 
H

haiyen621

Bài 1:
Vì $(a-b)^2$\geq $0$ với mọi $a,b \in R$
\Rightarrow $a^2-2ab+b^2$ \geq $0$
\Rightarrow $a^2+b^2$ \geq $2ab$
\Rightarrow $a^2 + b^2 + 2ab$ \geq $4ab$
\Rightarrow $(a+b)^2$ \geq $4ab$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b$
 
Last edited by a moderator:
H

haiyen621

Bài 3:
A= |x-1| + |3-x|
Áp dụng BĐT: $|a|+|b| \ge |a+b|$ với mọi a,b. Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $ab \ge 0$
\Rightarrow $A=|x-1| + |3-x| \ge |x-1+3-x| = 2$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $(x-1)(3-x)\ge 0$
\Leftrightarrow $1\le x \le 3 $
 
O

one_day

congchuaanhsang said:
Bài tập áp dụng:

2, Giải phương trình

$x^5-5x^4+6x^3+10x^2-21x-27=0$

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức $a^2 \ge 0$

Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có: $x^5-5x^4+6x^3+10x^2-21x-27=0$
\Leftrightarrow $ (x-3)(x^4-2x^3+10x+9)=0$
\Rightarrow $x=3$ hoặc $x^4-2x^3+10x+9=0$
Ta thấy: $x^4-2x^3+10x+9$= $(x+1)^2 . [(x-2)^2 +3] + 2$ \geq 2
Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất.
 
C

congchuaanhsang

Tiếp theo chúng ta sẽ đến với một bất đẳng thức cổ điển thường được gọi là Cauchy hay AM-GM

Cho 2 số không âm:

$\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b$

Dạng tổng quát cho n số không âm

$\sqrt[n]{a_1a_2a_3....a_n} \le \dfrac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a_1=a_2=a_3=...=a_n$
 
C

congchuaanhsang

Bài tập áp dụng:

1, Cho a,b>0. Chứng minh:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$

2, Cho a,b>0. Chứng minh

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$
 
V

viethoang1999

congchuaanhsang said:
Bài tập áp dụng:

1, Cho a,b>0. Chứng minh:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$

2, Cho a,b>0. Chứng minh

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

1)
Áp dụng liên tiếp AM-GM (Cô si) ta có:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\ge 2\sqrt{\dfrac{4}{(a+b)^2}}=\dfrac{4}{a+b}$
Dấu "=" xảy ra khi: $a=b$

2)
Áp dụng bđt Cô si ta có:
$\dfrac{a^2}{b^2}+1\ge 2.\dfrac{a}{b}$
$\dfrac{b^2}{a^2}+1\ge 2.\dfrac{b}{a}$
Cộng theo vế ta có:
$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\sqrt{\dfrac{a}{b}. \dfrac{b}{a}}-2=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom