Giả sử $A_n$ là tập các số tự nhiên có $n$ chữ số sao cho số chữ số $0$ xuất hiện là chẵn.
$B_n$ là tập các số tự nhiên có $n$ chữ số sao cho số chữ số $0$ xuất hiện là lẻ.
Xét số $x\in A_{n}$, ta có $1$ cách thêm chữ số tận cùng để được một số trong tập $B_{n+1}$ và $9$ cách thêm chữ số tận cùng để được một số trong tập $A_{n+1}$
Xét số $x\in B_{n}$, ta có $1$ cách thêm chữ số tận cùng để được một số trong tập $A_{n+1}$ và $9$ cách thêm chữ số tận cùng để được một số trong tập $B_{n+1}$
Đặt $a_n=|A_n|$ và $b_n=|B_n|$ thì ta có: $\begin{cases} a_{n+1}=9a_{n}+b_{n}\\ b_{n+1}=9b_{n}+a_{n} \end{cases}$
Từ hệ suy ra: $a_{n+2}-18a_{n+1}+80a_{n}=0$
Phương trình đặc trưng: $\lambda^2-18\lambda+80=0$ hay $\lambda=8\vee \lambda = 10$
Ta còn có: $a_1=9, a_2=81$ nên $a_{n}=\dfrac{9\left(8^{n-1}+10^{n-1}\right)}{2}$
Thay $n=2013$ thì ta có kết quả.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn