có ai làm được bài này không

B

boon_angel_93

woodenst said:
Cho 2 số a,b dương và a+b=1. Cm

1/ab + 1/(a^2+b^2) \geq6

:M017:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a và b ta có:a+b lớn hơn hoặc bằng 2 căn ab--->1 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ab(do a+b=1)
bình phương 2 vế ta được :1 lớn hơn hoặc bằng 4 ab--->1/ab lớn hơn hoặc bằng 4 (1)
mặt khác ta có (a+b)^2nhỏ hơn hoặc bằng 2(a^2+b^2)----->1/(a+b)^2 lớn hơn hoặc bằng 1/2(a^2+b^2)
mà a+b=1--->1 lớn hơn hoặc bằng 1/2(a^2+b^2)------>2.(a^2+b^2) lớn hơn hoặc bằng 1---->a^2+b^2 lớn hơn hoặc bằng 1/2---->1/(a^2+b^2) lớn hơn hoặc bằng 2 (2)
cộng (1)và(2)--->dpcm
thông cảm tớ ko biết cách viết ct chịu khó dịch nha:)
 
B

bigbang195

[TEX]VT= \frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{1}{2ab}+\frac{4}{(a+b)^2} \geq \frac{2}{(a+b)^2} +\frac{4}{(a+b)^2} =2+4=6[/TEX]
[TEX]Done !!![/TEX]
 
Last edited by a moderator:
W

woodenst

Bạn xem lại giùm mình, hình như bạn nhầm ở chỗ : a^2+b^2 >= 1/2---->1/(a^2+b^2) lớn hơn hoặc bằng 2 , vì 1/(a^2+b^2) phải bé hơn hoặc bằng 1/2 chứ ? Và dẫn đến 1/ab >= 1/4 còn 1/(a^2+b^2) =< 1/2 nên bài toán chưa được giải quyết.
 
D

duynhan1

woodenst said:
Cho 2 số a,b dương và a+b=1. Cm

[tex]\frac{1}{ab} + \frac{1}{(a^2+b^2)} \geq 6[/tex]

:M017:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Theo BDT Co-si.Ta co:
[TEX]x^2+y^2\geq2xy[/TEX]
[TEX](x+y)^2\geq4xy[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
Áp dụng vào bài này ta có :

[tex]\frac{1}{ab} + \frac{1}{(a^2+b^2)} = \frac{1}{2ab} + (\frac{1}{2ab} + \frac{1}{(a^2+b^2)} )\geq\frac{1}{2ab} + \frac{4}{(a+b)^2}=4 + \frac{1}{2ab}[/tex]:)
Lại có [TEX]4ab\leq(a+b)^2=1[/TEX]
[TEX]\frac{1}{2ab}\geq2[/TEX]:)
Từ :) :) ta có điều phải chứng minh
o=>
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom