Toán 9 CMR: [tex]x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} \leq xy[/tex]

[rsewt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} \leq xy[/tex]

 

[baogiang0304]

[tex]x\sqrt{y-1} + y\sqrt{x-1} \leq xy[/tex]

Áp dụng Bđt AM-GM:
[tex]xy=(x-1)y+y\geq 2y\sqrt{x-1}[/tex] (1)
[tex]xy=(y-1)x+x\geq 2x\sqrt{y-1}[/tex] (2)
(1)(2) => [tex]2xy\geq 2x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}[/tex] =>đpcm
Dấu = xảy ra <=>[tex]x=y=1[/tex] hoặc [tex]x=y=0[/tex]

 

[elisabeth.2507]

đk: [tex]x\geq 1 ; y\geq 1[/tex]
áp dụng BĐT cô-si ta có: [tex](y-1)+1\geq 2\sqrt{(y-1).1} \Leftrightarrow y\geq 2\sqrt{y-1}[/tex][tex]\Leftrightarrow 2\frac{\sqrt{y-1}}{y}\leq 1[/tex]
tương tự ta có [tex]\Leftrightarrow 2\frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq 1[/tex]
cộng vế theo vế: [tex]2(\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y})\leq 2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\leq 1 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\leq xy[/tex] (đpcm)