Toán 10 CMR: [tex]\sum \frac{b+c}{1+a}\geq \frac{6\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}[/tex]

[minhchau2003xp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình với

 

[Ann Lee]

Giúp mình với View attachment 70211

Ví dụ 1:
Biến đổi tương đương chắc được :3
Xét [tex]\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}-\frac{2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}\\=\frac{a(1+a)(1+\sqrt{ab})+b(1+b)(1+\sqrt{ab})-2\sqrt{ab}(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)(1+\sqrt{ab})}\\=\frac{a^2+b^2+a+b-a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}+a^2\sqrt{ab}+b^2\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}-2ab\sqrt{ab}}{(1+a)(1+b)(1+\sqrt{ab})}\\=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(a-b)^2\sqrt{ab}+(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(1+a)(1+b)(1+\sqrt{ab})}\\=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2[1+\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2+a+\sqrt{ab}+b]}{(1+a)(1+b)(1+\sqrt{ab})}\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\geq \frac{2\sqrt{ab}}{1+\sqrt{ab}}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

Ví dụ 2:
BĐT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow \left ( \frac{b+c}{1+a}+1 \right )+\left ( \frac{c+a}{1+b}+1 \right )+\left ( \frac{a+b}{1+c}+1 \right )\geq \frac{6\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}+3\\\Leftrightarrow \frac{1+a+b+c}{1+a}+\frac{1+a+b+c}{1+b}+\frac{1+a+b+c}{1+c}\geq \frac{3+9\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\Leftrightarrow (1+a+b+c)\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \right )\geq \frac{3+9\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}(1)[/tex]
Theo BĐT Cauchy ta có:
[tex]1+a+b+c\geq 1+3\sqrt[3]{abc}(2)[/tex]
+) Với [tex]a\geq 1;b\geq 1[/tex] ta luôn có [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}(3)[/tex] (chứng minh BĐT này bằng cách biến đổi tương đương)
+) Với [tex]a\geq 1;b\geq 1;c\geq 1[/tex] ta luôn có [tex]\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}(4)[/tex]
Thật vậy:
Xét [tex]A=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}}[/tex]
Theo BĐT (3) ta có:
[tex]A=\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b} \right )+\left (\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{abc}} \right )\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{abc}}\\\Rightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}[/tex]
Vậy BĐT (4) được chứng minh
Tứ (2) và (4) suy ra
[tex](1+a+b+c)\left ( \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \right )\geq (1+3\sqrt[3]{abc}).\frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}=\frac{3+9\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}[/tex]
Vậy BĐT (1) được chứng minh hay BĐT đã cho được chứng minh
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]