Với 0 < a; b; c <1. CMR:
1+a+b1+1+b+c1+1+c+a1≤1+23abc3
Ta cần chứng minh:
F(a;b;c) =
1+a+b1+1+b+c1+1+c+a1−1+23abc3≤0
Với a;b > 0 và
ab≤x, ta có đẳng thức
x+a1+x+b1≤x+ab2(1)
⇔x2+x(a+b)+ab2x+a=b≤x+ab2⇔2x2+x(a+b)+2xab+ab(a+b)≤2x2+2x(a+b)+2ab[tex]⇔2xab+ab(a+b)≤x(a+b)+2ab⇔2ab(x−ab)+(a+b)(ab−x)≤0
⇔(ab−x)(a−b)2≤0 ( hiển nhiên )
+ vì c+1 >1 >
ab, áp dụng kết quả (1) ta suy ra:
1+c+b1+1+c+a1≤1+c+ab2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Ta cũng có
1+a+b1≤1+2ab1
Từ đó suy ra:
F(a;b;c)≤1+ab+ab1+1+ab+c1+1+c+ab1−1+23abc3
=
F(ab;ab;c).
Xét bộ a,b,c bất kỳ có
a=b ta có
F(a;b;c)<
F(ab;ab;c).
Suy ra giá trị lớn nhất chỉ đạt được khi a=b=c, hay
F(a;b;c) ≤F(a;a;a)=0 (ĐPCM)[/tex]