Với 0 < a; b; c <1. CMR: [tex]\frac{1}
{1+a+b} +\frac{1}{1+b+c}+ \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}[/tex]
Ta cần chứng minh:
F(a;b;c) = [tex]\frac{1}{1+a+b}+ \frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}-\frac{3}{1+2\sqrt[3]{}abc}\leq 0[/tex]
Với a;b > 0 và[tex]\sqrt{ab} \leq x,[/tex] ta có đẳng thức [tex]\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b}\leq \frac{2}{x+\sqrt{ab}} (1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{2x+a=b}{x^2 +x(a+b)+ab}\leq \frac{2}{x+\sqrt{ab}}
\Leftrightarrow 2x^2 + x(a+b)+2x\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(a+b)\leq 2x^2+2x(a+b)+2ab
[tex]\Leftrightarrow 2x\sqrt{ab } +\sqrt{ab}(a+b)\leq x(a+b)+2ab\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}(x-\sqrt{ab})+(a+b)(\sqrt{ab}-x)\leq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-x)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0[/tex] ( hiển nhiên )
+ vì c+1 >1 >[tex]\sqrt{ab}[/tex], áp dụng kết quả (1) ta suy ra:
[tex]\frac{1}{1+c+b}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{2}{1+c+\sqrt{ab}}[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Ta cũng có [tex]\frac{1}{1+a+b} \leq \frac{1}{1+2\sqrt{ab}}[/tex]
Từ đó suy ra:
[tex]F(a;b;c)\leq \frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}+ \frac{1}{1+\sqrt{ab}+c}+\frac{1}{1+c+\sqrt{ab}}-\frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}[/tex]
= [tex]F(\sqrt{ab};\sqrt{ab};c).[/tex]
Xét bộ a,b,c bất kỳ có [tex]a\neq b[/tex] ta có [tex]F(a;b;c)[/tex]<[tex]F(\sqrt{ab};\sqrt{ab};c).[/tex]
Suy ra giá trị lớn nhất chỉ đạt được khi a=b=c, hay [tex]F(a;b;c)[/tex] [tex]\leq F(a;a;a)=0[/tex] (ĐPCM)[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
