Toán 9 CMR: 11+a+b+11+b+c+11+c+a≤31+2abc3\frac{1}{1+a+b} +\frac{1}{1+b+c}+ \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}

[Nhi Linhh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với 0 < a; b; c <1. CMR: $$\frac{1}{1+a+b} +\frac{1}{1+b+c}+ \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}$$

 

[Hanh157]

Với 0 < a; b; c <1. CMR: $$\frac{1} {1+a+b} +\frac{1}{1+b+c}+ \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}$$

Ta cần chứng minh:
F(a;b;c) = $$\frac{1}{1+a+b}+ \frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}-\frac{3}{1+2\sqrt[3]{}abc}\leq 0$$

Với a;b > 0 và$$\sqrt{ab} \leq x,$$ ta có đẳng thức $$\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b}\leq \frac{2}{x+\sqrt{ab}} (1)$$

$$\Leftrightarrow \frac{2x+a=b}{x^2 +x(a+b)+ab}\leq \frac{2}{x+\sqrt{ab}} \Leftrightarrow 2x^2 + x(a+b)+2x\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(a+b)\leq 2x^2+2x(a+b)+2ab [tex]\Leftrightarrow 2x\sqrt{ab } +\sqrt{ab}(a+b)\leq x(a+b)+2ab\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}(x-\sqrt{ab})+(a+b)(\sqrt{ab}-x)\leq 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-x)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0$$ ( hiển nhiên )

+ vì c+1 >1 >$$\sqrt{ab}$$, áp dụng kết quả (1) ta suy ra:

$$\frac{1}{1+c+b}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{2}{1+c+\sqrt{ab}}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Ta cũng có $$\frac{1}{1+a+b} \leq \frac{1}{1+2\sqrt{ab}}$$

Từ đó suy ra:

$$F(a;b;c)\leq \frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}+ \frac{1}{1+\sqrt{ab}+c}+\frac{1}{1+c+\sqrt{ab}}-\frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}$$

= $$F(\sqrt{ab};\sqrt{ab};c).$$

Xét bộ a,b,c bất kỳ có $$a\neq b$$ ta có $$F(a;b;c)$$<$$F(\sqrt{ab};\sqrt{ab};c).$$

Suy ra giá trị lớn nhất chỉ đạt được khi a=b=c, hay $$F(a;b;c)$$ $$\leq F(a;a;a)=0$$ (ĐPCM)[/tex]