Toán 9 CMR: 11+a+b+11+b+c+11+c+a31+2abc3\frac{1}{1+a+b} +\frac{1}{1+b+c}+ \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}

Nhi Linhh

Học sinh mới
Thành viên
5 Tháng tám 2018
1
2
6
23
TP Hồ Chí Minh
THPT Chuyên Lê Hồng Phong
  • Like
Reactions: Hanh157

Hanh157

Học sinh chăm học
Thành viên
20 Tháng tám 2017
202
247
124
21
Đồng Nai
THPT Long Khánh
Với 0 < a; b; c <1. CMR: 11+a+b+11+b+c+11+c+a31+2abc3\frac{1} {1+a+b} +\frac{1}{1+b+c}+ \frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}

Ta cần chứng minh:
F(a;b;c) = 11+a+b+11+b+c+11+c+a31+23abc0\frac{1}{1+a+b}+ \frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}-\frac{3}{1+2\sqrt[3]{}abc}\leq 0

Với a;b > 0 vàabx,\sqrt{ab} \leq x, ta có đẳng thức 1x+a+1x+b2x+ab(1)\frac{1}{x+a}+\frac{1}{x+b}\leq \frac{2}{x+\sqrt{ab}} (1)

2x+a=bx2+x(a+b)+ab2x+ab2x2+x(a+b)+2xab+ab(a+b)2x2+2x(a+b)+2ab[tex]2xab+ab(a+b)x(a+b)+2ab2ab(xab)+(a+b)(abx)0\Leftrightarrow \frac{2x+a=b}{x^2 +x(a+b)+ab}\leq \frac{2}{x+\sqrt{ab}} \Leftrightarrow 2x^2 + x(a+b)+2x\sqrt{ab}+\sqrt{ab}(a+b)\leq 2x^2+2x(a+b)+2ab [tex]\Leftrightarrow 2x\sqrt{ab } +\sqrt{ab}(a+b)\leq x(a+b)+2ab\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}(x-\sqrt{ab})+(a+b)(\sqrt{ab}-x)\leq 0

(abx)(ab)20\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-x)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\leq 0 ( hiển nhiên )

+ vì c+1 >1 >ab\sqrt{ab}, áp dụng kết quả (1) ta suy ra:

11+c+b+11+c+a21+c+ab\frac{1}{1+c+b}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{2}{1+c+\sqrt{ab}}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Ta cũng có 11+a+b11+2ab\frac{1}{1+a+b} \leq \frac{1}{1+2\sqrt{ab}}

Từ đó suy ra:

F(a;b;c)11+ab+ab+11+ab+c+11+c+ab31+2abc3F(a;b;c)\leq \frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}+ \frac{1}{1+\sqrt{ab}+c}+\frac{1}{1+c+\sqrt{ab}}-\frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}

= F(ab;ab;c).F(\sqrt{ab};\sqrt{ab};c).

Xét bộ a,b,c bất kỳ có aba\neq b ta có F(a;b;c)F(a;b;c)<F(ab;ab;c).F(\sqrt{ab};\sqrt{ab};c).

Suy ra giá trị lớn nhất chỉ đạt được khi a=b=c, hay F(a;b;c)F(a;b;c) F(a;a;a)=0\leq F(a;a;a)=0 (ĐPCM)[/tex]
 
Top Bottom