Toán 8 CMR: [tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}\geq 3[/tex] ( với $a,b>0$)

[Tríp Bô Hắc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh rằng: với x>0, ta có :[tex]^{(x+1)^{2}}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1)\geq 16[/tex]
Khi nào dấu = xảy ra?
2.

3.CMR: [tex]3a^{3}+7b^{3}\geq 9ab^{2}[/tex] ( với a,b>=0)
4. CMR: [tex]a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3[/tex] ( với a>b>0)
5. a) CMR: [tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}\geq 3[/tex] ( với a,b>0)
b) Cho x,y>0 và x+y=1. Chứng minh [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq 5[/tex]
Giúp với ạ, mình cần gấp lắm, cảm ơn trước nhé

 

[Hanh157]

3.CMR: 3a3+7b3≥9ab23a3+7b3≥9ab23a^{3}+7b^{3}\geq 9ab^{2} ( với a,b>=0)

[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]3a^3 +7b^3 \geq 3a^2+3b^3\geq 3.3\sqrt[3]{a^3b^6}=9ab^2[/tex]

4. CMR: a+1b(a−b)≥3a+1b(a−b)≥3a+\frac{1}{b(a-b)}\geq 3 ( với a>b>0)

Ta có: [tex]a+\frac{1}{b(a-b)} =(a-b)+\frac{1}{b(a-b)}+b\geq 3\sqrt[3]{a-b\frac{1}{b(b-a)}b}=3[/tex]
Dấu [tex]"="[/tex] xảy ra khi [tex]a=2b=2[/tex]

 

[Ann Lee]

1. Chứng minh rằng: với x>0, ta có :[tex]^{(x+1)^{2}}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1)\geq 16[/tex]
Khi nào dấu = xảy ra?

Đề là chứng minh [tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1)\geq 16[/tex]?
Nếu là thật như vậy thì:
Ta có BĐT bổ đề: Với [TEX]a,b>0[/TEX] thì [tex](a^2+b^2)\geq 4ab[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b$
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
[tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1)=(x+1)^2.\left ( \frac{1}{x}+1 \right )^2\geq 4x.\frac{4}{x}=16[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=1[/TEX]

2.
View attachment 71702

Xem lại đề,phải là chứng minh $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\geq 8$
Thật vậy:
[tex]\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\\=\left ( \frac{1-a}{a} \right )\left ( \frac{1-b}{b}\right )\left ( \frac{1-c}{c} \right )\\=\left ( \frac{b+c}{a} \right )\left ( \frac{c+a}{b} \right )\left ( \frac{a+b}{c} \right )\\=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\\\geq \frac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

3.CMR: [tex]3a^{3}+7b^{3}\geq 9ab^{2}[/tex] ( với a,b>=0)

Vì [tex]b\geq 0\Rightarrow b^3\geq 0\Rightarrow 7b^3\geq 6b^3[/tex]
Suy ra [tex]3a^{3}+7b^{3}\geq 3a^{3}+6b^{3}=3a^{3}+3b^{3}+3b^3\geq 3\sqrt[3]{3a^{3}.3b^{3}.3b^3}=9ab^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

5. a) CMR: [tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}\geq 3[/tex] ( với a,b>0)
b) Cho x,y>0 và x+y=1. Chứng minh [tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}> 2y[/tex]

a) [tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}-1\geq 4\sqrt[4]{(a-b).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}}-1=4-1=3[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=2;b=1[/TEX]
b) Có điều kiện gì cho $z$ không bạn?

 

[Tríp Bô Hắc]

Đề là chứng minh [tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1)\geq 16[/tex]?
Nếu là thật như vậy thì:
Ta có BĐT bổ đề: Với [TEX]a,b>0[/TEX] thì [tex](a^2+b^2)\geq 4ab[/tex]
Dấu = xảy ra khi $a=b$
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
[tex](x+1)^{2}.(\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1)=(x+1)^2.\left ( \frac{1}{x}+1 \right )^2\geq 4x.\frac{4}{x}=16[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]x=1[/TEX]

Xem lại đề,phải là chứng minh $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\geq 8$
Thật vậy:
[tex]\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )\\=\left ( \frac{1-a}{a} \right )\left ( \frac{1-b}{b}\right )\left ( \frac{1-c}{c} \right )\\=\left ( \frac{b+c}{a} \right )\left ( \frac{c+a}{b} \right )\left ( \frac{a+b}{c} \right )\\=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\\\geq \frac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=8[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

Vì [tex]b\geq 0\Rightarrow b^3\geq 0\Rightarrow 7b^3\geq 6b^3[/tex]
Suy ra [tex]3a^{3}+7b^{3}\geq 3a^{3}+6b^{3}=3a^{3}+3b^{3}+3b^3\geq 3\sqrt[3]{3a^{3}.3b^{3}.3b^3}=9ab^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

a) [tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}-1\geq 4\sqrt[4]{(a-b).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}}-1=4-1=3[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=2;b=1[/TEX]
b) Có điều kiện gì cho $z$ không bạn?

Bạn ơi bài 1 [tex]4x.\frac{4}{x}[/tex] là sao vậy ạ?
Bài 2 nếu như [tex](\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\geq 1[/tex] thì có giải được ko ạ?
Bài 5 a)[tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+ \frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}-1[/tex], khúc đó mình chưa hiểu lắm ạ!!
5. b) mình sửa lại rồi nhá
Phiền bạn giúp mình ạ

 

[Tríp Bô Hắc]

[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]3a^3 +7b^3 \geq 3a^2+3b^3\geq 3.3\sqrt[3]{a^3b^6}=9ab^2[/tex]


Ta có: [tex]a+\frac{1}{b(a-b)} =(a-b)+\frac{1}{b(a-b)}+b\geq 3\sqrt[3]{a-b\frac{1}{b(b-a)}b}=3[/tex]
Dấu [tex]"="[/tex] xảy ra khi [tex]a=2b=2[/tex]

Bài 4 [tex](a-b)+\frac{1}{b(a-b)}+b[/tex] là sao vậy bạn

 

[Ann Lee]

Bạn ơi bài 1 [tex]4x.\frac{4}{x}[/tex] là sao vậy ạ?
Bài 2 nếu như [tex](\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\geq 1[/tex] thì có giải được ko ạ?
Bài 5 a)[tex]a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+ \frac{4}{(a-b)(b+1)^{2}}-1[/tex], khúc đó mình chưa hiểu lắm ạ!!
5. b) mình sửa lại rồi nhá
Phiền bạn giúp mình ạ

Bài 1:
Theo BĐT bổ đề thì [tex](x+1)^2\geq 4x[/tex] cái còn lại tương tự
Bài 2:
Không bạn à.
Mình đã chứng minh biểu thức ấy luôn $\geq 8$ thì cớ sao bạn còn hỏi mình có chứng minh ấy luôn $\geq 1$ dược hay không
Bài 5:
Chỉ đơn giản là biến đổi biểu thức cho thêm phức tạp để sử dụng BĐT Cô-si thôi, bạn không hiểu thì mình chịu

b) Cho x,y>0 và x+y=1. Chứng minh [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq 5[/tex]

Theo BĐT Bunykovsky ta có:

• [tex](1^2+1^2)(x^4+y^4)\geq (x^2+y^2)^2\\\Leftrightarrow 2(x^4+y^4)\geq (x^2+y^2)^2\\\Leftrightarrow 8(x^4+y^4)\geq 4(x^2+y^2)^2[/tex]
  
• [tex](1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\\\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\\\Leftrightarrow 4(x^2+y^2)^2\geq (x+y)^4=1[/tex]

Suy ra [TEX]8(x^4+y^4)\geq 1[/TEX]
Theo BĐT Cô-si ta có:
[tex]x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow (x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4[/tex]
Suy ra [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq 5[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]

Bài 4 [tex](a-b)+\frac{1}{b(a-b)}+b[/tex] là sao vậy bạn

Chỉ đơn giản là biến đổi biểu thức cho thêm phức tạp để sử dụng BĐT Cô-si thôi, bạn không hiểu thì mình chịu

 

[Tríp Bô Hắc]

Bài 1:
Theo BĐT bổ đề thì [tex](x+1)^2\geq 4x[/tex] cái còn lại tương tự
Bài 2:
Không bạn à.
Mình đã chứng minh biểu thức ấy luôn $\geq 8$ thì cớ sao bạn còn hỏi mình có chứng minh ấy luôn $\geq 1$ dược hay không
Bài 5:
Chỉ đơn giản là biến đổi biểu thức cho thêm phức tạp để sử dụng BĐT Cô-si thôi, bạn không hiểu thì mình chịu

Theo BĐT Bunykovsky ta có:

• [tex](1^2+1^2)(x^4+y^4)\geq (x^2+y^2)^2\\\Leftrightarrow 2(x^4+y^4)\geq (x^2+y^2)^2\\\Leftrightarrow 8(x^4+y^4)\geq 4(x^2+y^2)^2[/tex]
  
• [tex](1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\\\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\\\Leftrightarrow 4(x^2+y^2)^2\geq (x+y)^4=1[/tex]

Suy ra [TEX]8(x^4+y^4)\geq 1[/TEX]
Theo BĐT Cô-si ta có:
[tex]x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow (x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4[/tex]
Suy ra [tex]8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq 5[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]

Chỉ đơn giản là biến đổi biểu thức cho thêm phức tạp để sử dụng BĐT Cô-si thôi, bạn không hiểu thì mình chịu

À, bạn có thể chỉ cho mình dấu bằng xảy ra là sao ko ạ, cái đó mình chưa hiểu ạ

 

[Ann Lee]

À, bạn có thể chỉ cho mình dấu bằng xảy ra là sao ko ạ, cái đó mình chưa hiểu ạ

BĐT Cauchy cho 2 số $a,b$ không âm:
[tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

BĐT Bunyakovsky cho bộ 2 số
[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/tex]

Từ đây bạn có thể tự tìm được dấu = cho từng bài nhé.

 

[mỳ gói]

BĐT Cauchy cho 2 số $a,b$ không âm:
[tex]a+b\geq 3\sqrt{ab}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

BĐT Bunyakovsky cho bộ 2 số
[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/tex]

Từ đây bạn có thể tự tìm được dấu = cho từng bài nhé.

Bất đẳng thức cosi kì vậy ??

 

[Ann Lee]

Bất đẳng thức cosi kì vậy ??

Do lúc gõ máy không cẩn thận nên mình đã gõ nhầm số 2 thành số 3.
Cảm ơn bạn đã nhắc.
Mình đã sửa lại.

 

[Tríp Bô Hắc]

BĐT Cauchy cho 2 số $a,b$ không âm:
[tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX]

BĐT Bunyakovsky cho bộ 2 số
[tex](a^2+b^2)(x^2+y^2)\geq (ax+by)^2[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\frac{a}{x}=\frac{b}{y}[/tex]

Từ đây bạn có thể tự tìm được dấu = cho từng bài nhé.

Cảm ơn bạn nhiều nhá