1, Đặt trên biểu thức cần chứng minh là P
Ta có $\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}=1- \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2} $Do đó bất đẩng thức cần chứng minh tương đương với
$P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+b^2+a^2} $ \leq $3$
\Leftrightarrow$P= \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{1}{b^5+a^2+c^2} + \dfrac{1}{c^5+b^2+a^2} \le \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$
Sử dụng bất đăng thức Bunyakovsky, ta được
$ (a^5+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2)$\geq $(a^2+b^2+c^2)$
CMTT rồi cộng lại theo vế ta được:
$ P$\leq$ \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$
Và như thế, bài toán được đưa về chứng minh
$ \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$\leq$\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$
\Leftrightarrow$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$\leq$ a^2+b^2+c^2$
Do $abc\ge1$ và $ ab+bc+ca$\leq$a^2+b^2+c^2$
Bài toán được chứng minh
Dấu'=' xảy ra \Leftrightarrow$a=b=c=1$
Bác sai chỗ in đỏ đấy, thay $a=-100 ; b=\dfrac{1}{-50}; c=\dfrac12$ thấy liền. Mà đề bài đâu có cho x,y,z dương đâu mà phang Bunhiacopski ngon thế =))
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn