Toán 9 CMR $S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(0,99...9)^{2}}$(có n chữ số 9) là số hữu tỉ với n nguyên dương

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR với mọi số nguyên dương n thì [tex]S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(0,99...9)^{2}}[/tex](mỗi số có n chữ số 9) luôn là số hữu tỉ

 

[Hoàng Vũ Nghị]

CMR với mọi số nguyên dương n thì [tex]S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(0,99...9)^{2}}[/tex](mỗi số có n chữ số 9) luôn là số hữu tỉ

ta có a+b+c=0 thì [tex]\sum \frac{1}{a^{2}}=(\sum \frac{1}{a})^{2}[/tex] (1)
Đặt a=1 ,[tex]b=\frac{1}{9999...9}\\c=\frac{-1}{0,999..999}=-1-\frac{1}{9999..9}[/tex]
Áp dụng (1)
ta có [tex]S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(0,99...9)^{2}}[/tex]=[tex]1+9999...9-0,9...9[/tex]

 

[Ann Lee]

CMR với mọi số nguyên dương n thì [tex]S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(0,99...9)^{2}}[/tex](mỗi số có n chữ số 9) luôn là số hữu tỉ

[tex]S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(0,99...9)^{2}}=S_{n}=\sqrt{1+99...9^{2}+(\frac{99..9}{100..0})^{2}}[/tex] (n chữ số 9 và n chữ số 0)
Đặt [tex]99..9=a>0[/tex] thì [tex]100..0=a+1[/tex] ( có n chữ số 9 và n chữ số 0)
Khi đó [tex]S_{n}=\sqrt{1+a^2+\left ( \frac{a}{a+1} \right )^2}[/tex]
Ta có [tex](a+1)^2=a^2+2a+1\Leftrightarrow 1+a^2=(a+1)^2-2n[/tex]
[tex]S_{n}=\sqrt{(a+1)^2-2a+\left ( \frac{a}{a+1} \right )^2}=\sqrt{\left ( a+1-\frac{a}{a+1} \right )^2}=a+1-\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+a+1}{a+1}[/tex] là số hữu tỉ (đpcm)