Toán 10 CMR nếu độ dài mỗi cạnh đều là các ước số của chu vi tứ giác này thì tứ giác đó có ít nhất hai cạnh

[Bonechimte]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tứ giác lồi 4 cạnh a, b, c, d đều là các số nguyên dương. CMR nếu độ dài mỗi cạnh đều là các ước số của chu vi tứ giác này thì tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau

 

[huythong1711.hust]

Gọi độ dài 4 cạnh của tam giác là a, b, c, d. Giả sử a>b>c>d (1)
Chu vi từ giác bằng a+b+c+d. Vì là tứ giác lồi nên a<b+c+d, kết hợp với (1) ta được a<b+c+d<3a => 2a<a+b+c+d<4a (2)
Có a+b+c+d chia hết cho a,b,c,d kết hợp với (2) ta được a+b+c+d =3a
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix}a+b+c+d=nb & \\ a+b+c+d=mc & \end{matrix}\right. (n,m \in N*)[/tex] Vì b>c nên m>n>3 [tex]\Rightarrow m\geq 5;n\geq 4\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d\geq 4b & \\ a+b+c+d\geq 5c & \end{matrix}\right. \Rightarrow 3(a+b+c+d)\geq 3a+4b+5c\Leftrightarrow b-d+2(c-d)\leq 0[/tex]
Mà b,c,d >0
Vậy có ít nhất 2 cạnh bằng nhau