CMR không tồn tại các bộ 3 số nguyên (a,b,c) thoả mãn: $a^4+2b^4=3c^4+4$

[clinhc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR không tồn tại các bộ 3 số nguyên (a,b,c) thoả mãn:

 

[1um1nhemtho1]

Ta chứng minh với mọi số nguyên $a$ thì $a^4$ chia cho $16$ dư $0$ hoặc $1$


- với $a$ chia hết cho $2$ \Rightarrow $a^4$ chia hết cho $16$

- với $a$ chia cho $2$ dư $1$

\Rightarrow $a^4-1 = (a-1)(a+1)(a^2+1)$

nhận thấy $(a-1)(a+1)$ là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho $8$
$a^2+1$ là số chẵn nên $a^4-1 \vdots 16$
\Rightarrow $a^4$ chia cho $16$ dư $1$

Áp dụng \Rightarrow $a^4+2b^4$ chia cho $16$ chỉ có thể dư $0,1,2,3$

$3b^4 + 4$ chia cho $16$ dư $4,7$
tức là không tồn tại các số nguyên thỏa mãn