CMR: KE, KF là hai tiếp tuyến của (O)

[mua_sao_bang_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (O;R) từ A nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến AEF và hai tiếp tuyến AB, AC, H là trung điểm của EF
a, chứng minh: O, H, B,C,A cùng thuộc một đường trog
b, BC cắt AO tại I, cắt OH tại K. CM: OI. OA = OH. OK
c, tứ giác AIHK nội tiếp
d, KE, KF là hai tiếp tuyến của (O)

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này


em cũng chẳng biết có đúng không hì tại hình nhìu điểm quá
Gọi giao điểm của OK với đg tròn tâm O lần lượt là H', K' (H' nằm giữa O và K)
Ta có: $\widehat{EKO}=\frac{cungK'E-cungH'E}{2}$
Và $\widehat{EOK}=cungH'E$
\Rightarrow$\widehat{EKO}+\widehat{EOK}=\frac{cungK'E-cungH'E+2cungH'E}{2}=\frac{cungK'H'}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o$

 

[pe_lun_hp]

Vì AB là tt của đtròn (O) nên $AB^2 = AE.AF$

Mặt khác HTL trong $\Delta{ABO}$: $AB^2 = AI.AO$

$\Rightarrow AE.AF = AI.AO \Leftrightarrow \dfrac{AE}{AI} = \dfrac{AO}{AF}$

Từ trên ta sẽ có $\Delta{AEI} \sim \Delta{AOF}$

$\Rightarrow \widehat{AIE} = \widehat{AFO}$

Mà $\widehat{AIE} + \widehat{EIO} = 180^o$

$\Rightarrow \widehat{AFO} + \widehat{EIO} = 180^o$

Hay tứ giác EIOF nội tiếp (1)

Ta có : $\widehat{AIE} + \widehat{EIK} = 90^o$

Và $\widehat{AFO} + \widehat{KOF} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{EIK} = \widehat{KOF}$ ( Vì $\widehat{AIE} = \widehat{AFO}$)

Mà $\Delta{EOF}$ cân tại O có OH là đường phân giác nên :

$\widehat{KOF} = \widehat{KOE}$

$\Rightarrow \widehat{EIK} = \widehat{KOE} $. Hay tứ giác EIOK nội tiếp (2)..

Từ (1)&(2): $\Rightarrow EOFK$ nội tiếp.

$\Delta{KOE} = \Delta{KOF} \Rightarrow \widehat{KEO} = \widehat{KFO}= 90^o$

(đpcm)