Toán 8 Cmr: abc khác 0

[simple102bruh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho các số thực a,b,c thoả mãn đồng thời hai đẳng thức :
i, (a+b)(b+c)(c+a) = abc ; ii, (a^3 +b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3) = a^3b^3c^3
Chứng minh rằng abc =0

Anh,chị khối trên biết thì giúp em với ạ

 

[TranPhuong27]

Giả sử [tex]abc \neq 0[/tex], ta có:

[tex]abc=(a+b)(b+c)(c+a) \Leftrightarrow a^3b^3c^3=a^2b^2c^2(a+b)(b+c)(c+a)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a^2b^2c^2(a+b)(b+c)(c+a)=(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=(a+b)(b+c)(c+a)(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) = a^2b^2c^2[/tex] (1)

Ta có: [tex](a-b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2-ab+b^2 \geq ab[/tex]

Tương tự: [tex]b^2-bc+c^2 \geq bc; c^2-ca+a^2 \geq ca[/tex]

Nhân theo vế các BĐT cùng chiều:

[tex](a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) \geq a^2b^2c^2[/tex] (2)

Từ (1),(2) [TEX]\Rightarrow[/TEX] để dấu bằng xảy ra thì [tex]a=b=c[/tex]

Khi đó i, [tex]\Leftrightarrow 8a^3=a^3 \Leftrightarrow 7a^3=0 \Leftrightarrow a=0 \Rightarrow a=b=c=0 \Leftrightarrow abc=0[/tex] ( mâu thuẫn với giả thiết )

Vậy điều giả sử là sai, hay [tex]abc=0[/tex] ( đpcm )