CMR: $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2 \geq $27

T

thienluan14211

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ \Rightarrow a=b=c=1
Áp dụng Cauchy
Ta có ab+bc+ca \geq $3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$
$(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2$ \geq $(3\sqrt[3]{\sqrt{(abc)^2}}=3^2=9$
\Rightarrow $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2$ \geq 3.9=27


@braga: cái điều kiện đánh giá chưa ổn :D
 
Last edited by a moderator:
B

braga

Đặt $x=ab \ ; \ y=bc \ ; \ z=ca\Rightarrow a=\sqrt{\dfrac{xz}{y}} \ ; \ b=\sqrt{\dfrac{xy}{z}} \ ; \ c=\sqrt{\dfrac{yz}{x}} \Rightarrow x+y+z=xy+yz+zx$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 \ge 27 \iff \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \ge \dfrac{3\sqrt{3}}{ \sqrt{x+y+z}}$$
Viết lại bất đẳng thức với dạng:
$$\sqrt{\dfrac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+y+z}}+ \sqrt{ \dfrac{z}{x+y+z}} \ge \dfrac{3\sqrt{3}(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2}$$
$$\iff 2\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y+z}} \right)+\dfrac{3\sqrt{3}(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2} \ge 3\sqrt{3}$$
Theo Cauchy thì:
$$\dfrac{3\sqrt{3}x^2}{(x+y+z)^2}+\sqrt{\dfrac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\dfrac{x}{x+y+z}} \ge \dfrac{3\sqrt{3}x}{x+y+z}$$
Như vậy:
$$VT \ge 3\sqrt{3}\left(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+ \dfrac{ z}{ x+y+z} \right)=3\sqrt{3}=VP$$
Điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1\iff a=b=c=1$

P/s: http://lingduongvatoanhoc.blogspot.com/2013/09/bai-toan-cho-abc-frac1afrac1bfrac1c.html :D
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom