Toán 9 CMR: a + ab + 2abc[tex]\geq \frac{9}{2}[/tex].

[andrew3629]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c > 0 sao cho a + b +c = 3
CMR: a + ab + 2abc[tex]\geq \frac{9}{2}[/tex].
Giúp mình nha, cảm ơn mọi người.

 

[Ngoc Anhs]

Cho a, b, c > 0 sao cho a + b +c = 3
CMR: a + ab + 2abc[tex]\geq \frac{9}{2}[/tex].
Giúp mình nha, cảm ơn mọi người.

Sai đề rồi bạn!
Ví dụ như tại a=b=c=1 (đã tm đk a,b,c>0 và a+b+c=3) nhưng a+ab+2abc=4[tex]< \frac{9}{2}[/tex]

 

[andrew3629]

Cho a, b, c > 0 sao cho a + b +c = 3
CMR: a + ab + 2abc[tex]\geq \frac{9}{2}[/tex].
Giúp mình nha, cảm ơn mọi người.

MÌnh sửa lại đề là bé hơn hoặc bằng 9/2 nha, cảm ơn

 

[Hoàng Vũ Nghị]

[tex]P=a+ab+2abc\\=a+ab+2ab(3-a-b)\\=a+7ab-2a^2b-2ab^2[/tex]
đpcm tương đương
[tex]f(a)=4a^2b+4ab^2-2a-14ab+9\geq 0[/tex]
delta phảy ẩn a là
[tex]\Delta '=(2b^2-7b-1)^2-36b=(b-1)^2(4b^2-20b+1)[/tex]
Nếu [tex]b\leq \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow P\leq 4,5[/tex]
Nếu [tex]3\geq b> \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow \Delta '\leq 0\\\Rightarrow f(a).4b\geq 0\\\Rightarrow f(a)\geq 0[/tex]
Dấu = xảy ra khi b=1,[tex]a=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}[/tex]

 

[andrew3629]

[tex]P=a+ab+2abc\\=a+ab+2ab(3-a-b)\\=a+7ab-2a^2b-2ab^2[/tex]
đpcm tương đương
[tex]f(a)=4a^2b+4ab^2-2a-14ab+9\geq 0[/tex]
delta phảy ẩn a là
[tex]\Delta '=(2b^2-7b-1)^2-36b=(b-1)^2(4b^2-20b+1)[/tex]
Nếu [tex]b\leq \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow P\leq 4,5[/tex]
Nếu [tex]3\geq b> \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow \Delta '\leq 0\\\Rightarrow f(a).4b\geq 0\\\Rightarrow f(a)\geq 0[/tex]
Dấu = xảy ra khi b=1,[tex]a=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}[/tex]

Làm sao khi bạn xét trường hợp của b mà suy ra được P vậy? Phần này ạ:
Nếu [tex]b\leq \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow P\leq 4,5[/tex]
Nếu [tex]3\geq b> \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow \Delta '\leq 0\\\Rightarrow f(a).4b\geq 0\\\Rightarrow f(a)\geq 0[/tex]

 

[iceghost]

Cho a, b, c > 0 sao cho a + b +c = 3
CMR: a + ab + 2abc[tex]\geq \frac{9}{2}[/tex].
Giúp mình nha, cảm ơn mọi người.

$P = a + ab + 2abc$
$= a(1 + b(1 + 2c))$
Có $b(1 + 2c) = \dfrac12 \cdot 2b \cdot (1 + 2c) \leqslant \dfrac18 (2b + 1 +2c)^2 = \dfrac18 (7 - 2a)^2$
$P - \dfrac{9}2 \leqslant a(1 + \dfrac18 ( 7 - 2a)^2) - \dfrac{9}2 = \dfrac18 (2a - 3)^2(a-4) \leqslant 0$
Vậy $P \leqslant \dfrac{9}2$ và '=' xảy ra khi $a = \dfrac{3}2$, $b = 1$, $c = \dfrac{1}2$

 

[andrew3629]

$P = a + ab + 2abc$
$= a(1 + b(1 + 2c))$
Có $b(1 + 2c) = \dfrac12 \cdot 2b \cdot (1 + 2c) \leqslant \dfrac18 (2b + 1 +2c) = \dfrac18 (7 - 2a)^2$
$P - \dfrac{9}2 \leqslant a(1 + \dfrac18 ( 7 - 2a)^2) - \dfrac{9}2 = \dfrac18 (2a - 3)^2(a-4) \leqslant 0$
Vậy $P \leqslant \dfrac{9}2$ và '=' xảy ra khi $a = \dfrac{3}2$, $b = 1$, $c = \dfrac{1}2$

Làm sao anh chứng minh được [tex]\frac{1}{4}(a+b)\ge ab[/tex] để được phần 1/2⋅2b⋅(1+2c)⩽1/8(2b+1+2c) ạ.

 

[iceghost]

Làm sao anh chứng minh được [tex]\frac{1}{4}(a+b)\ge ab[/tex] để được phần 1/2⋅2b⋅(1+2c)⩽1/8(2b+1+2c) ạ.

Bạn đọc mà chả nhận ra là ghi thiếu mũ 2 à Bđt quen thuộc rồi còn gì. (Đã sửa)

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Làm sao khi bạn xét trường hợp của b mà suy ra được P vậy? Phần này ạ:
Nếu [tex]b\leq \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow P\leq 4,5[/tex]
Nếu [tex]3\geq b> \frac{5-\sqrt{24}}{2}\Rightarrow \Delta '\leq 0\\\Rightarrow f(a).4b\geq 0\\\Rightarrow f(a)\geq 0[/tex]

Th1 có b<... ,a<3,c<3
Khi đó P<4,5
Th2 là định lí về dấu của tam thức bậc 2