CMR: 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)

[tphu0ng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1:
Cho a+b+c=0. CMR:
2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)
bài 2:
(x-2)^4+(x-3)^4=1

 

[eunhyuk_0330]

Bài 1:
Vì a+b+c=0
\Rightarrow a+b=-c \Rightarrow $(a+b)^3$ = $-c^3$
Hay $a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ = $-c^3$
\Rightarrow $a^3 + b^3 +c^3$ = -3ab(a+b)
\Leftrightarrow$a^3 + b^3 +c^3$ = -3ab(-c) = 3abc
Do đó:
3abc($a^2+b^2+c^2$)
= ($a^3 + b^3 +c^3$)($a^2+b^2+c^2$)
= $a^5+b^5+c^5+a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+ c^3(a^2+b^2)$
Mà $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=c^2-2ab$
Tương tự:
$b^2+c^2=a^2-2bc$;
$c^2+a^2=b^2-2ac$
Vì vậy:
3abc($a^2+b^2+c^2$)
= $a^5+b^5+c^5+a^3(a^2-2bc)+b^3(b^2+2ac)+ c^3(c^2-2ab)$
= $2(a^5+b^5+c^5) - 2abc(a^2+b^2+c^2)$
Suy ra:
$5abc(a^2+b^2+c^2)= 2(a^5+b^5+c^5)$ (đpc/m)

 

[tranvanhung7997]

Bài 2: $(x-2)^4+(x-3)^4=1$
+xét $x=2;x=3$ là nghiệm
+xét $x>3=>(x-2)^4+(x-3)^4 > 1 =>$ PT VN
+xét $x<2=>(x-2)^4+(x-3)^4 > 1 =>$ PT VN
+xét $2<x<3=>(x-2)^4+(x-3)^4=(x-2)^4+(3-x)^4 < (x-2)+(3-x)=1=>$ PT VN
Vậy $x=2; 3$