Toán 9 CM x^2-y^2 chia hết cho 40

[DABE Kawasaki]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với các số nguyên dương x,y t/m đẳng thứcx^2-1)/2=(y^2-1)/3
CMR:x^2-y^2 chia hết cho 40

 

[TranPhuong27]

Mới nghĩ ra [TEX]x^2-y^2[/TEX] chia hết cho [TEX]8[/TEX] thôi, còn [TEX]5[/TEX] thì chưa
[tex]\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3} \Leftrightarrow 3x^2=2y^2+1[/tex]
Do đó [TEX]x[/TEX] lẻ, đặt [TEX]x=2k+1[/TEX], ta có: [tex]12k^2+12k=2y^2-2 \Leftrightarrow y^2=6k^2+6k+1[/tex] [TEX]\Rightarrow y[/TEX] lẻ
Đặt [TEX]x=4m+1, y=4n+1[/TEX] [tex]x^2-y^2=(4m+1)^2-(4n+1)^2=16m^2-16n^2+8m-8n[/tex] chia hết cho [TEX]8[/TEX].

 

[7 1 2 5]

[tex]\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3} \Rightarrow 3(x^2-1)=2(y^2-2) \Rightarrow x^2+1=2(y^2-x^2)[/tex]
Xét đồng dư với 5:
+ [tex]x^2+1 \equiv 0,1,2(mod5),2(y^2-x^2) \equiv 0,1,4(mod4)[/tex]
Nếu [tex]x^2+1 \equiv 2(y^2-x^2) \equiv 1(mod5) \Rightarrow x \vdots 5 \Rightarrow 2y^2 \equiv 1(mod5) \Rightarrow y^2 \equiv 3(mod5)[/tex](vô lí)
Vậy [tex]y^2-x^2 \vdots 5[/tex]