CM :$x^{2}$ + $y^{2}$ = 1

[conan98md]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1 :cho x,y >0 và $x^{3}$ + $y^{3}$ = x-y . CM : $x^2+y^2 <1$


Bài 2 : tìm x,y nguyên dương để A = $\frac{x^{2}+x+1}{xy-1}$


bài 3 : tồn tại hay không các số a,b,c,d hữu tỷ sao cho

$(a+b\sqrt{2})^{1994}$ + $(c+d\sqrt{2})^{1994}$ = 5+$4\sqrt{2}$

 

[harrypham]

2. Ý bạn là tìm [TEX]x,y[/TEX] nguyên dương để [TEX]A[/TEX] nguyên phải không.
Ta có [TEX]A= \frac{x^2+x+1}{xy-1}[/TEX] nguyên thì

[TEX]y \cdot A= \frac{x(xy-1)+(xy-1)+x+y+2}{xy-1}[/TEX]​

cũng nguyên. Do đó [TEX]x+y+2[/TEX] chia hết cho [TEX]xy-1[/TEX].
Vì [TEX]x,y \in \mathbb{N}^*[/TEX] nên để thoả mãn [TEX]\frac{x+y+2}{xy-1} \in \mathbb{N}[/TEX] thì [TEX]x+y+2 \ge xy-1 \Leftrightarrow (x-1)(y-1) \le 3[/TEX].
Ta suy ra [TEX](x-1)(y-1) \in \{0;1;2;3 \}[/TEX].
Đến đây xét trường hợp là ra.

 

[conan98md]

Bạn xem lại đề bài 1

x2 + y2 = 1.Tớ nghĩ là <1 vì đây là 1 câu BĐT. Hơn nữa cũng ko thể cm x2+y2=1

Nó luôn luôn <1 \forall x,y>0

mình sửa r bạn giúp mình giải bài đó di

 

[eye_smile]

1.Do $x;y>0$ nên ${x^3} + {y^3} > {x^3} - {y^3}$
$ \leftrightarrow x - y > {x^3} - {y^3}$
$ \leftrightarrow 1 > {x^2} + xy + {y^2}$
$ \leftrightarrow {x^2} + {y^2} < 1\left( {xy > 0} \right)$

 

[eye_smile]

3.G/s tồn tại các số hữu tỉ $a;b;c;d$, sao cho :
${\left( {a + b\sqrt 2 } \right)^{1994}} + {\left( {c + d\sqrt 2 } \right)^{1994}} = 5 + 4\sqrt 2 $
AD công thức của nhị thức Newton thì phải (ko nhớ lắm), đươc;
$\left( {x + y\sqrt 2 } \right) + \left( {z + t\sqrt 2 } \right) = 5 + 4\sqrt 2 $
$ \to \left\{ \begin{array}{l}
x + z = 5 \\
y + t = 4 \\
\end{array} \right. \to \left( {x - y\sqrt 2 } \right) + \left( {z - t\sqrt 2 } \right) = 5 - 4\sqrt 2 \leftrightarrow {\left( {a - b\sqrt 2 } \right)^{1994}} + {\left( {c - d\sqrt 2 } \right)^{1994}} = 5 - 4\sqrt 2 \left( {vo - ly} \right)$
$ \to $ ko tồn tại......